Question

7．如图，点O是平面直角坐标系的原点，反比例函数y=$\frac{k}{x}$位于第一象限的图象经过矩形ABCO边AB的中点E，与边BC交于点D，连接OD，DE，延长DE与x轴交于点F，则△ODF与矩形ABCO的面积比是$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 设点A（m，0）得E（m，$\frac{k}{m}$）、B（m，$\frac{2k}{m}$）及点D的纵坐标，根据点D在双曲线上求得点D的横坐标即CD的长，进而得BD的长，通过证△EAF≌△EBD得AF=BD，即可表示出AF的长，最后根据面积公式代入可得两图形面积比．

解答 解：设点A（m，0），则点E坐标为（m，$\frac{k}{m}$），
∵E是AB中点，
∴AE=BE，B点坐标为（m，$\frac{2k}{m}$），
则点D的纵坐标为$\frac{2k}{m}$，
∴点D的横坐标x=$\frac{k}{\frac{2k}{m}}$=$\frac{m}{2}$，即CD=$\frac{m}{2}$
∴BD=BC-CD=0A-CD=$\frac{m}{2}$，
在△EAF和△EBD中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠EAF=∠B=90°}\\{AE=BE}\\{∠AEF=∠BED}\end{array}\right.$，
∴△EAF≌△EBD（ASA），
∴AF=BD=$\frac{m}{2}$，
则OF=OA+AF=$\frac{3m}{2}$，
故$\frac{{S}_{△ODF}}{{S}_{矩形OABC}}$=$\frac{\frac{1}{2}•OF•AB}{OA•AB}$=$\frac{\frac{1}{2}×\frac{3m}{2}}{m}$=$\frac{3}{4}$，
故答案为：$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查了反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k≠0）系数k的几何意义：从反比例函数y=kx（k≠0）图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|，主要通过设点的坐标结合矩形性质、反比例函数解析式及三角形全等表示出所需线段的长是关键．