Question

18．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x²+bx+c与x轴交于A、B两点，点A在x轴的负半轴，点B在x轴的正半轴，与y轴交于点C，且CO=2AO，CO=BO，AB=3，则下列判断中正确的是（　　）

• A． 此抛物线的解析式为y=x²+x-2
• B． 当x＞0时，y随着x的增大而增大
• C． 在此抛物线上的某点M，使△MAB的面积等于5，这样的点共有三个
• D． 此抛物线与直线y=-$\frac{9}{4}$只有一个交点

Answer 1

分析 先确定A、B点的坐标，则可利用交点式求出抛物线解析式，于是可对A选项进行判断；根据二次函数的性质对B选项进行判断；设M（t，t²-t-2），根据三角形面积公式得到$\frac{1}{2}$×3×|t²-t-2|=5，再把方程化为t²-t-2=$\frac{10}{3}$或t²-t-2=-$\frac{10}{3}$，然后通过解两个方程确定t的值，从而可对C选项进行判断；通过解方程x²-x-2=-$\frac{9}{4}$可对D选项进行判断．

解答 解：∵CO=2AO，CO=BO，AB=3，
∴OA=1，OB=2，
∴A（-1.0），B（2，0），
∴抛物线解析式为y=（x+1）（x-2），即y=x²-x-2，所以A选项错误；
∵抛物线的对称轴为直线x=$\frac{1}{2}$，
∴当x＞$\frac{1}{2}$时，y随着x的增大而增大，所以B选项错误；
设M（t，t²-t-2），
当△MAB的面积等于5，则$\frac{1}{2}$×3×|t²-t-2|=5，
∴t²-t-2=$\frac{10}{3}$或t²-t-2=-$\frac{10}{3}$，
∵方程t²-t-2=$\frac{10}{3}$有两个不等实数解，而方程或t²-t-2=-$\frac{10}{3}$没有实数解，
∴满足条件的M点有2个，所以C选项错误；
当y=-$\frac{9}{4}$时，x²-x-2=-$\frac{9}{4}$，解得x₁=x₂=$\frac{1}{2}$
∴抛物线与直线y=-$\frac{9}{4}$只有一个交点，所以D选项正确．
故选D．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标转化为解关于x的一元二次方程．也考查了根的判别式和根与系数的关系．对于二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），△=b²-4ac决定抛物线与x轴的交点个数：△=b²-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b²-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．