Question

17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，在AC上取一点D，在AB上取一点E，使∠BDC=∠EDA，过点E作EF⊥BD于点N．交BC于点F，若CF=8，AD=11，则CD的长为3．

Answer 1

分析 过B作BH⊥BC交DE的延长线于H，则BH∥AC，推出△ADE∽△BHE，根据相似三角形的性质得到$\frac{AE}{EB}$=$\frac{AD}{BH}$，根据平行线的性质得到∠H=∠1，∠2=∠DBH，等量代换得到∠H=∠DBH，于是得到DH=BD，过D作DM⊥BH与M，根据等腰三角形的性质得到BM=$\frac{1}{2}$BH=CD，设CD=x，则BH=2x，根据余角的性质得到∠2=∠3，推出△ADE∽△BFE，根据相似三角形的性质即可得到结论．

解答 解：过B作BH⊥BC交DE的延长线于H，则BH∥AC，
∴△ADE∽△BHE，
∴$\frac{AE}{EB}$=$\frac{AD}{BH}$，
∵BH∥AC，
∴∠H=∠1，∠2=∠DBH，
∵∠1=∠2，
∴∠H=∠DBH，
∴DH=BD，
过D作DM⊥BH与M，
∴BM=$\frac{1}{2}$BH=CD，设CD=x，则BH=2x，
∵EF⊥BD，
∴∠BNF=90°，
∴∠2+∠CBD=∠3+∠NBF，
∴∠2=∠3，
∵∠A=∠FBE=45°，
∴∠1=∠3，
∴△ADE∽△BFE，
∴$\frac{AD}{BF}$=$\frac{AE}{EB}$=$\frac{AD}{BH}$，
∴BF=BH，即11+x-8=2x，
∴x=3．
∴CD=3．
故答案为：3．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．