Question

2．如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点0与坐标原点重合，A、C分别在坐标轴上，点B的坐标为（2，4），直线y=-2x+6交AB、BC分别于点M、N，反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象经过点M．
（1）求反比例函数的解析式，并验证N点在该反比例函数图象上；
（2）若点P在y轴上，且△OPM的面积与四边形BMON的面积相等，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）将y=4代入y=-2x+6得出M（1，4），把M的坐标代入y=$\frac{k}{x}$即可求得反比例函数的解析式，把x=2代入直线的解析式即可求出N的坐标，然后代入反比例函数的解析式验证即可．
（2）先求得S_{四边形BMON}=S_矩形OABC-S_△AOM-S_△CON=4，根据题意得出$\frac{1}{2}$OP•AM=4，进而求得OP=8，即可求得P的坐标．

解答 解：（1）∵B（2，4）四边形OABC是矩形，
∴OA=BC=4，
将y=4代入y=-2x+6得，x=1，
∴M（1，4），
把M的坐标代入y=$\frac{k}{x}$得，k=4，
∴反比例函数的解析式是y=$\frac{4}{x}$，
把x=2代入y=-2x+6得，y=2，
∴N（2，2），
把x=2代入y=$\frac{4}{x}$得，y=2，
∴N点在该反比例函数图象上；

（2）∵S_{四边形BMON}=S_矩形OABC-S_△AOM-S_△CON=4×2-$\frac{1}{2}$×1×4-$\frac{1}{2}$×2×2=4，
由题意得，$\frac{1}{2}$OP•AM=4，
∵AM=1，
∴OP=8，
∴点P的坐标为（0，8）或（0，-8）．

点评 本题考查了用待定系数法反比例函数的解析式，函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，矩形的性质的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，有一定的难度．