连接AB，直线AB与x轴交于点C，与y轴交于点D，平面内有一点E（3，1），直线BE与x轴交于点F．直线AB的解析式记作y1=kx+b，直线BE解析式记作y2=mx+t．求：分析 （1）根据观察图象可以找出点B、C、D的坐标，根据待定系数法即可求出直线AB、BE的解析式，令y2=0即可求出点F的坐标，结合三角形的面积公式即可得出结论；
（2）当直线AB的图象在直线BE图象上方时，有kx+b＞mx+t；当直线AB的图象在直线BE图象下方时，有kx+b＜mx+t；二者相交时，有kx+b=mx+t．结合图象即可得出结论；
（3）设点H的坐标为（n，0），用两点间的距离公式找出OB、OH、BH的长度，结合△OBH为等腰三角形的三种情况，即可求出n的值．
解答 解：（1）观察函数图象可知：
点C（-4，0），点D（0，2），点B（2，3），
将C、D点坐标代入直线AB的解析式中，得$\left\{\begin{array}{l}{0=-4k+b}\\{2=b}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{b=2}\end{array}\right.$．
∴直线AB的解析式为y1=$\frac{1}{2}$x+2．
将点B（2，3），E（3，1）代入到直线BE的解析式中，得$\left\{\begin{array}{l}{3=2m+t}\\{1=3m+t}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=-2}\\{t=7}\end{array}\right.$．
∴直线BE的解析式为y2=-2x+7．
令y2=0，则有-2x+7=0，解得m=$\frac{7}{2}$，
即点F的坐标为（$\frac{7}{2}$，0）．
∴CF=$\frac{7}{2}$-（-4）=$\frac{15}{2}$，
∴△BCF的面积S=$\frac{1}{2}$×3CF=$\frac{1}{2}$×3×$\frac{15}{2}$=$\frac{45}{4}$．
（2）结合函数图象可知：
当x＞2时，kx+b＞mx+t；当x＜2时，kx+b＜mx+t；当x=2时，kx+b=mx+t．
故答案为：＞2；＜2；=2．
（3）设点H的坐标为（n，0）．
∵点O（0，0），点B（2，3），
∴OB=$\sqrt{（2-0）^{2}+（3-0）^{2}}$=$\sqrt{13}$，OH=|n|，BH=$\sqrt{（n-2）^{2}+（0-3）^{2}}$．
△OBH为等腰三角形分三种情况：
①当OB=OH时，即$\sqrt{13}$=|n|，解得：n=±$\sqrt{13}$，
此时点H的坐标为（-$\sqrt{13}$，0）或（$\sqrt{13}$，0）；
②当OB=BH时，即$\sqrt{13}$=$\sqrt{（n-2）^{2}+（0-3）^{2}}$，解得：n=0（舍去），或n=4．
此时点H的坐标为（4，0）；
③当OH=BH时，即|n|=$\sqrt{（n-2）^{2}+（0-3）^{2}}$，解得：n=$\frac{13}{4}$．
此时点H的坐标为（$\frac{13}{4}$，0）．
综上可知：点H的坐标为（-$\sqrt{13}$，0）、（$\sqrt{13}$，0）、（4，0）或（$\frac{13}{4}$，0）．
点评 本题考查了一次函数的应用、待定系数法求函数解析式、结合函数图象解决不等式、两点间的距离公式以及等腰三角形的性质，解题的关键是：（1）待定系数法求函数解析式；（2）结合函数图象解不等式；（3）分等腰三角形的三种情况考虑．本题属于中档题，难度不大，解决该类型的题目时，代入点的坐标找出关于未知量的方程（或方程组）是关键．
科目：初中数学 来源： 题型：选择题
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