Question

【题目】如图，点C为线段AB上一点，分别以AB、AC、CB为底作顶角为120°的等腰三角形，顶角顶点分别为D、E、F（点E、F在AB的同侧，点D在另一侧）

（1）如图1，若点C是AB的中点，则∠AED＝　 　；

（2）如图2，若点C不是AB的中点

①求证：△DEF为等边三角形；

②连接CD，若∠ADC＝90°，AB＝3，请直接写出EF的长．

Answer 1

【答案】(1) 90°；(2)①见解析；②

【解析】

（1）如图1，过E作EH⊥AB于H，连接CD，设EH＝x，则AE＝2x，AH＝x，根据等腰三角形的性质得到∠DAC＝30°，进而得到DC＝CE，又因为EH∥DC，∴∠HED＝∠EDC＝∠CED，再进一步得到∠AEH＝60°，∠HED＝30°，即可求出∠AED的大小；（2）①延长FC交AD于H，连接HE，如图2，根据等腰三角形的性质得到∠FCB＝∠FBC＝30°，∠DAB＝∠DBA＝30°，∠EAC＝∠ECA＝30°，进而得到AD∥EC∥BF，AE∥CF∥BD，所以四边形BDHF、四边形AECH是平行四边形，进而得到△AEH是等边三角形，再根据SAS判定定理得到△DHE≌△FCE，∴∠DEF＝∠CEH＝60°，∴△DEF是等边三角形；②如图3，过E作EM⊥AB于M，根据等腰三角形的性质，求出CD、CE的长，再根据勾股定理求出DE的长，因为△DEF是等边三角形，∴EF＝DE，即可得解.

（1）如图1，过E作EH⊥AB于H，连接CD，

设EH＝x，则AE＝2x，AH＝x，

∵AE＝EC，

∴AC＝2AH＝2x，

∵C是AB的中点，AD＝BD，

∴CD⊥AB，

∵∠ADB＝120°，

∴∠DAC＝30°，

∴DC＝2x，

∴DC＝CE＝2x，

∵EH∥DC，

∴∠HED＝∠EDC＝∠CED，

∵∠AEH＝60°，∠AEC＝120°，

∴∠HEC＝60°，

∴∠HED＝30°，

∴∠AED＝∠AEH＋∠HED＝90°；

故答案为：90°；

（2）①延长FC交AD于H，连接HE，如图2，

∵CF＝FB，

∴∠FCB＝∠FBC，

∵∠CFB＝120°，

∴∠FCB＝∠FBC＝30°，

同理：∠DAB＝∠DBA＝30°，∠EAC＝∠ECA＝30°，

∴∠DAB＝∠ECA＝∠FBD，

∴AD∥EC∥BF，

同理AE∥CF∥BD，

∴四边形BDHF、四边形AECH是平行四边形，

∴EC＝AH，BF＝HD，

∵AE＝EC，

∴AE＝AH，

∵∠HAE＝60°，

∴△AEH是等边三角形，

∴AE＝AH＝HE＝CE，∠AHE＝∠AEH＝60°，

∴∠DHE＝120°，

∴∠DHE＝∠FCE．

∵DH＝BF＝FC，

∴△DHE≌△FCE（SAS），

∴DE＝EF，∠DEH＝∠FEC，

∴∠DEF＝∠CEH＝60°，

∴△DEF是等边三角形；

②如图3，过E作EM⊥AB于M，

∵∠ADC＝90°，∠DAC＝30°，

∴∠ACD＝60°，

∵∠DBA＝30°，

∴∠CDB＝∠DBC＝30°，

∴CD＝BC＝AC，

∵AB＝3，

∵AC＝2，BC＝CD＝1，

∵∠ACE＝30°，∠ACD＝60°，

∴∠ECD＝30°＋60°＝90°，

∵AE＝CE，

∴CM＝AC＝1，

∵∠ACE＝30°，

∴CE＝，

Rt△DEC中，DE＝＝＝，

由①知：△DEF是等边三角形，

∴EF＝DE＝ ．