Question

13．如图，正方形ABCD的边长为10，内部有6个全等的正方形，小正方形的顶点E，F，G，H分别落在边AD，AB，BC，CD上，求小正方形的边长．

Answer 1

分析 根据两直线平行，内错角相等可得∠AEG=∠CGE，再根据等角的余角相等求出∠DEH=∠BGF，然后利用“角角边”证明△DEH和△BGF全等，根据全等三角形对应边相等可得DE=BG，过点G作GK⊥AD于K，可得AK=BG，再求出△DEH和△KGE相似，利用相似三角形对应边成比例求出DE，再求出EK，然后利用勾股定理列式求出EG，然后求解即可．

解答 解：∵正方形ABCD的对边AD∥BC，
∴∠AEG=∠CGE，
∴∠DEH=∠BGF，
∵6个小正方形大小相同，
∴EH=GF，
在△DEH和△BGF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DEH=∠BGF}\\{∠B=∠D=90°}\\{EH=GF}\end{array}\right.$，
∴△DEH≌△BGF（AAS），
∴DE=BG，
过点G作GK⊥AD于K，则四边形ABGK是矩形，
所以，AK=BG，KG=AB=10，
∵∠DEH+∠KEG=90°，
∠KEG+∠KGE=90°，
∴∠DEH=∠KGE，
又∵∠D=∠EKG=90°，
∴△DEH∽△KGE，
∴$\frac{DE}{KG}$=$\frac{EH}{GE}$=$\frac{1}{5}$，
∴DE=$\frac{1}{5}$KG=$\frac{1}{5}$×10=2，
∴EK=AD-DE-AK=10-2-2=6，
在Rt△KEG中，由勾股定理得，EG=$\sqrt{{6}^{2}+1{0}^{2}}$=2$\sqrt{34}$，
所以，小正方形的边长为2$\sqrt{34}$×$\frac{1}{5}$=$\frac{2\sqrt{34}}{5}$．

点评 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，难点在于作辅助线构造出相似三角形和全等三角形．