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【题目】如图,将一个直角三角板中30°的锐角顶点与另一个直角三角板的直角顶点叠放一起.(:∠ACB∠DEC是直角,∠A=45°,∠DEC=30°).

(1)如图①,若点C、B、D在一条直线上,求∠ACE的度数

(2)如图②,将直角三角板CDE绕点c逆时针方向转动到某个位置,若恰好平分∠DCE,求∠BCD的度数;

(3)如图∠DEC始终在∠ACB的内部,分别作射线CM平分∠BCD,射线CN平分∠ACE.如果三角板DCE∠ACB内绕点C任意转动,∠MCN的度数是否发生变化?如果不变,求出它的度数,如果变化,说明理由

【答案】(1)60°;(2)75°;(3)不变,60°

【解析】

(1)利用∠ACE=BCA-DCE进行计算;

(2)先由CA恰好平分∠DCE得到∠DCA=DCE=15°,然后根据∠BCD=BCA-DCA进行计算;

(3)先根据CM平分∠BCDCN平分∠ACE得到∠ECN=ACEDCM=BCD,则∠ECN+DCM=BCA-DCE),所以∠MCN=ECN+DCM+DCE=BCA+DCE),然后把∠BCA=90°,DCE=30°代入计算即可.

解:(1)∵∠BCA=90°,DCE=30°,

∴∠ACE=BCA-DCE=60°;

(2)CA恰好平分∠DCE,

∴∠DCA=DCE=×30°=15°,

∴∠BCD=BCA-DCA=90°-15°=75°;

(3)MCN的度数不发生变化,∠MCN=60°.理由如下:

CM平分∠BCD,CN平分∠ACE,

∴∠ECN=ACE,DCM=BCD,

∴∠ECN+DCM=ACE+BCD)=BCA-DCE),

∴∠MCN=ECN+DCM+DCE

=BCA+DCE)=×(90°+30°)=60°.

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