Question

17．在平行四边形ABCD中，分别以AD，BC为斜边向内作等腰直角△ADE和等腰直角△BCF，连接BE，DF，求证：四边形BEDF是平行四边形．

Answer 1

分析 由平行四边形的性质得出AD=BC，∠BAD=∠BCD，由等腰直角三角形的性质得出∠DAE=∠BCF=45°，AE=DE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AD，CF=DF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BC，得出∠BAE=∠DCF，AE=DE=DF=CF，由SAS证明△ABE≌△CDF，得出BE=DF，即可得出结论．

解答 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，∠BAD=∠BCD，
∵△ADE和△△BCF是等腰直角三角形，
∴∠DAE=∠BCF=45°，AE=DE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AD，CF=DF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BC，
∴∠BAE=∠DCF，AE=DE=DF=CF，
在△ABE和△CDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=CD}&{\;}\\{∠BAE=∠DCF}&{\;}\\{AE=CF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CDF（SAS），
∴BE=DF，
∴四边形BEDF是平行四边形．

点评 本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质等知识；本题综合性强；难度适中．