Question

【题目】如图，点C是线段AB上的动点，分别以AC、BC为边在AB的同侧作等边△ACD、等边△BCE，BD、AE交于点P．若AB=6，则PC的最大值为_____．

Answer 1

【答案】

【解析】

首先证明△ACE≌△DCB，再证明PC平分∠APB，且∠APB=120°，作△APB的外接圆，延长PC交△APB的外接圆于点Q，可以发现当PQ⊥AB时，PC最大．

如图，∵△ACD与△BCE都为等边三角形，∴AC=CD，CB=CE，∠ACD=∠BCE=60°，∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，即∠ACE=∠DCB．

在△ACE和△DCB中，∵，∴△ACE≌△DCB（SAS），∴AE=BD．

过C作CG⊥AE，CH⊥BD．

∵△ACE≌△DCB，∴S△ACE=S△DCB，即AECG=BDCH．

∵AE=BD，∴CG=CH，∴PC平分∠APB．

∵∠CDB=∠EAC，∠DMP=∠AMC，∴∠ACP=∠DPA=60°，∴∠APB=120°，∠APQ=∠BPQ=60°，作△APB的外接圆，延长PC交△APB的外接圆于Q．

∵∠APB=120°是定值，∠APQ=∠BPQ=60°，∴QA=QB，点Q是定点，∴当PQ⊥AB时，PC的长最大，此时PA=PB，AC=BC，PC=ACtan30°=3×=．

故答案为：．