Question

11．已知Rt△ABC中，AC=BC，∠C=90°，D为AB边的中点，∠EDF=90°，如图①∠EDF的两边分别交AC、CB（或它们的延长线）于E、F．当∠EDF的边DE⊥AC于E时，S_△DEF，S_△CEF，S_△ABC满足S_△DEF+S_△CEF=$\frac{1}{2}$S_△ABC；
（1）如图②，当∠EDF的边DE和AC不垂直时，请证明上述结论仍然成立；
（2）如图③，当∠EDF的边DE与AC的延长线交于点E的情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，S_△DEF，S_△CEF，S_△ABC，又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．

Answer 1

分析 （1）先证明△CDE≌△BDF，即可得出结论；
（2）不成立；同（1）得：△DEC≌△DBF，得出S_△DEF=S_{五边形DBFEC}=S_△CFE+S_△DBC=S_△CFE+$\frac{1}{2}$S_△ABC．

解答 解：（1）连接CD；如图2所示：
∵AC=BC，∠ACB=90°，D为AB中点，
∴∠B=45°，∠DCE=$\frac{1}{2}$∠ACB=45°，CD⊥AB，CD=$\frac{1}{2}$AB=BD，
∴∠DCE=∠B，∠CDB=90°，
∵∠EDF=90°，
∴∠1=∠2，
在△CDE和△BDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠2}\\{CD=BD}\\{∠DCE=∠B}\end{array}\right.$，
∴△CDE≌△BDF（ASA），
∴S_△DEF+S_△CEF=S_△ADE+S_△BDF=$\frac{1}{2}$S_△ABC；
（2）不成立；${S}_{△DEF}-{S}_{△CEF}=\frac{1}{2}{S}_{△ABC}$；理由如下：连接CD，如图3所示：
同（1）得：△DEC≌△DBF，∠DCE=∠DBF=135°
∴S_△DEF=S_{五边形DBFEC}，
=S_△CFE+S_△DBC，
=S_△CFE+$\frac{1}{2}$S_△ABC，
∴S_△DEF-S_△CFE=$\frac{1}{2}$S_△ABC．
∴S_△DEF、S_△CEF、S_△ABC的关系是：S_△DEF-S_△CEF=$\frac{1}{2}$S_△ABC．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、图形面积的求法；证明三角形全等是解决问题的关键．