Question

【题目】如图1，抛物线y=﹣x2+bx+c交x轴于点A(- 4，0)和点B，交y轴于点C(0，4)．

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)如图2，设点Q是线段AC上的一动点，作DQ⊥x轴，交抛物线于点D，当△ADC面积有最大值时，在抛物线对称轴上找一点M，使DM+AM的值最小，求出此时M的坐标；

(3)点Q在直线AC上的运动过程中，是否存在点Q，使△BQC为等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】(1)；(2)点M的坐标为M(，5)；(3)存在，Q(，)或(，)或(-3，1)或().

【解析】

（1）将A(- 4，0)、C(0，4)代入y=﹣x2+bx+c中即可得；

（2）直线AC的解析式为：，表达出DQ的长度，及△ADC的面积，根据二次函数的性质得出△ADC面积的最大值，从而得出D点坐标，作点D关于对称轴对称的点，确定点M，使DM+AM的值最小；

（3）△BQC为等腰三角形，则表达出三边，并对三边进行分类讨论，计算得出Q点的坐标即可.

解：(1)将A(- 4，0)、C(0，4)代入y=﹣x2+bx+c中得

，解得 ，

∴，

(2)直线AC的解析式为：

设Q(m，m+4) ，则 D(m，)

DQ=()- (m+4)=

当m=-2时，面积有最大值

此时点D的坐标为D(-2，6)，D点关于对称轴对称的点D1(-1，6)

直线AD1的解析式为：

当时，

所以，点M的坐标为M(，5)

(3)∵，

∴设Q(t,t+4)，

由得，，

∴B(1,0)，

∴

,

△BQC为等腰三角形

①当BC=QC时，则，∴此时，

∴Q(，)或(，)；

②当BQ=QC时，则，解得，

∴Q()；

③当BQ=BC时，则，解得t=-3,

∴Q(-3，1)；

综上所述，若△BQC为等腰三角形，则

Q(，)或(，)或(-3，1)或().