【题目】如图,P是等边三角形ABC内一点,将线段BP绕点B逆时针旋转60°得到线段BQ,连接AQ.若PA=4,PB=5,PC=3,则四边形APBQ的面积为_______.
【答案】
【解析】
由旋转的性质可得△BPQ是等边三角形,由全等三角形的判定可得△ABQ≌△CBP(SAS),由勾股定理的逆定理可得△APQ是直角三角形,求四边形的面积转化为求两个特殊三角形的面积即可.
解:连接PQ,
由旋转的性质可得,BP=BQ,
又∵∠PBQ=60°,
∴△BPQ是等边三角形,
∴PQ=BP,
在等边三角形ABC中,∠CBA=60°,AB=BC,
∴∠ABQ=60°-∠ABP
∠CBP=60°-∠ABP
∴∠ABQ=∠CBP
在△ABQ与△CBP中
,
∴△ABQ≌△CBP(SAS),
∴AQ=PC,
又∵PA=4,PB=5,PC=3,
∴PQ=BP=5,PC=AQ=3,
在△APQ中,因为,25=16+9,
∴由勾股定理的逆定理可知△APQ是直角三角形,
∴,
故答案为:
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【题目】张老师在讲解复习《圆》的内容时,用投影仪屏幕展示出如下内容:
如图,内接于,直径的长为2,过点的切线交的延长线于点.
张老师让同学们添加条件后,编制一道题目,并按要求完成下列填空.
(1)在屏幕内容中添加条件,则的长为______.
(2)以下是小明、小聪的对话:
小明:我加的条件是,就可以求出的长
小聪:你这样太简单了,我加的是,连结,就可以证明与全等.
参考上面对话,在屏幕内容中添加条件,编制一道题目(此题目不解答,可以添线、添字母).______.
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【题目】如图,一次函数(为常数,且)的图像与反比例函数的图像交于,两点.
(1)求一次函数的表达式;
(2)若将直线向下平移个单位长度后与反比例函数的图像有且只有一个公共点,求的值.
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【题目】如图1,在平面直角坐标系xOy中,已知△ABC,∠ABC=90°,顶点A在第一象限,B,C在x轴的正半轴上(C在B的右侧),BC=2,AB=2,△ADC与△ABC关于AC所在的直线对称.
(1)当OB=2时,求点D的坐标;
(2)若点A和点D在同一个反比例函数的图象上,求OB的长;
(3)如图2,将第(2)题中的四边形ABCD向右平移,记平移后的四边形为A1B1C1D1,过点D1的反比例函数y=(k≠0)的图象与BA的延长线交于点P.问:在平移过程中,是否存在这样的k,使得以点P,A1,D为顶点的三角形是直角三角形?若存在,请直接写出所有符合题意的k的值;若不存在,请说明理由.
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【题目】图①是小明在健身器材上进行仰卧起坐锻炼时的情景,图②是小明锻炼时上半身由ON位置运动到与地面垂直的OM位置时的示意图.已知AC=0.66米,BD=0.26米,α=20°.(参考数据:sin20°≈0.342,cos20°≈0.940,tan20°≈0.364)
(1)求AB的长(精确到0.01米);
(2)若测得ON=0.8米,试计算小明头顶由N点运动到M点的路径的长度.(结果保留π)
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【题目】如图1,抛物线y=﹣x2+bx+c交x轴于点A(- 4,0)和点B,交y轴于点C(0,4).
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)如图2,设点Q是线段AC上的一动点,作DQ⊥x轴,交抛物线于点D,当△ADC面积有最大值时,在抛物线对称轴上找一点M,使DM+AM的值最小,求出此时M的坐标;
(3)点Q在直线AC上的运动过程中,是否存在点Q,使△BQC为等腰三角形?若存在,直接写出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,点P是边AC上一点,过点P作PQ∥AB交BC于点Q,D为线段PQ的中点,BD平分∠ABC,以下四个结论①△BQD是等腰三角形;②BQ=DP;③PA=QP;④=(1+)2;其中正确的结论的个数( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
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【题目】某驻村扶贫小组实施产业扶贫,帮助贫困农户进行西瓜种植和销售.已知西瓜的成本为6元/千克,规定销售单价不低于成本,又不高于成本的两倍.经过市场调查发现,某天西瓜的销售量y(千克)与销售单价x(元/千克)的函数关系如下图所示:
(1)求y与x的函数解析式(也称关系式);
(2)求这一天销售西瓜获得的利润的最大值.
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【题目】如图,一艘船由A港沿北偏东65°方向航行km至B港,然后再沿北偏西40°方向航行至C港,C港在A港北偏东20°方向.
求:(1)∠C的度数;
(2)A,C两港之间的距离为多少km.
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