Question

【题目】如图，P是等边三角形ABC内一点，将线段BP绕点B逆时针旋转60°得到线段BQ，连接AQ．若PA=4，PB=5，PC=3，则四边形APBQ的面积为_______．

Answer 1

【答案】

【解析】

由旋转的性质可得△BPQ是等边三角形，由全等三角形的判定可得△ABQ≌△CBP(SAS)，由勾股定理的逆定理可得△APQ是直角三角形，求四边形的面积转化为求两个特殊三角形的面积即可．

解：连接PQ，

由旋转的性质可得，BP=BQ，

又∵∠PBQ=60°，

∴△BPQ是等边三角形，

∴PQ=BP，

在等边三角形ABC中，∠CBA=60°，AB=BC，

∴∠ABQ=60°-∠ABP

∠CBP=60°-∠ABP

∴∠ABQ=∠CBP

在△ABQ与△CBP中

，

∴△ABQ≌△CBP(SAS)，

∴AQ=PC，

又∵PA=4，PB=5，PC=3，

∴PQ=BP=5，PC=AQ=3，

在△APQ中，因为，25=16+9，

∴由勾股定理的逆定理可知△APQ是直角三角形，

∴，

故答案为：