Question

【题目】如图，菱形ABCD的边AB＝8，∠B＝60°，P是AB上一点，BP＝3，Q是CD边上一动点，将梯形APQD沿直线PQ折叠，A的对应点为A′，当CA′的长度最小时，CQ的长为_____．

Answer 1

【答案】7

【解析】

作CH⊥AB于H，如图，根据菱形的性质可判断△ABC为等边三角形，则CH＝AB＝4，AH＝BH＝4，再利用勾股定理计算出CP＝7，再根据折叠的性质得点A′在以P点为圆心，PA为半径的弧上，利用点与圆的位置关系得到当点A′在PC上时，CA′的值最小，然后证明CQ＝CP即可．

作CH⊥AB于H，如图，

∵菱形ABCD的边AB＝8，∠B＝60°，

∴△ABC为等边三角形，

∴CH＝AB＝4，AH＝BH＝4，

∵PB＝3，

∴HP＝1，

在Rt△CHP中，CP＝＝7，

∵梯形APQD沿直线PQ折叠，A的对应点A′，

∴点A′在以P点为圆心，PA为半径的弧上，

∴当点A′在PC上时，CA′的值最小，

∴∠APQ＝∠CPQ，而CD∥AB，

∴∠APQ＝∠CQP，

∴∠CQP＝∠CPQ，

∴CQ＝CP＝7．

故答案为：7．