Question

17．数学学习是很有趣的，关键在于是否能对一些数学问题进行规律的探究，小明和小丽同学及时发现了一组很默契的数字，列出了以下几个等式：
$\frac{1}{1×2}$=1-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2×3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3×4}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$．
将以上三个等式两边分别相加得：
$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}$=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$=1-$\frac{1}{4}$=$\frac{3}{4}$
（1）猜想并写出：$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$；
（2）直接写出下列各式的计算结果：
①$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{2013×2014}$=$\frac{2013}{2014}$；
②$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}$+…$\frac{1}{n×（n+1）}$=$\frac{n}{n+1}$．
（3）探究并计算：$\frac{1}{2×4}+\frac{1}{4×6}+\frac{1}{6×8}$+…+$\frac{1}{2012×2014}$．

Answer 1

分析 （1）根据题中给出的例子可直接得出结论；
（2）①②根据题中给出的例子进行计算即可；
（3）先把原式化为题中给出式子的形式，再进行计算即可．

解答 解：（1）∵$\frac{1}{1×2}$=1-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2×3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3×4}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$．
∴$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$．
故答案为：$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$；

（2）①原式=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$…+$\frac{1}{2013}$-$\frac{1}{2014}$
=1-$\frac{1}{2014}$
=$\frac{2013}{2014}$．
故答案为：$\frac{2013}{2014}$；

②原式=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$
=1-$\frac{1}{n+1}$
=$\frac{n}{n+1}$．
故答案为：$\frac{n}{n+1}$；

（3）原式=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{1006×1007}$）
=$\frac{1}{2}$×（1-$\frac{1}{1007}$）
=$\frac{1}{2}$×$\frac{1006}{1007}$
=$\frac{503}{1007}$．

点评 本题考查的是有理数的混合运算，此题属规律性题目，难度不大．