Question

【题目】已知，△ABC 是等腰直角三角形，BC=AB，A 点在 x 负半轴上，直角顶点 B 在 y 轴上，点 C 在 x 轴上方．

（1）如图1所示，若A的坐标是（﹣3，0），点 B的坐标是（0，1），求点 C 的坐标；

（2）如图2，过点 C 作 CD⊥y 轴于 D，请直接写出线段OA，OD，CD之间等量关系；

（3）如图3，若 x 轴恰好平分∠BAC，BC与 x 轴交于点 E，过点 C作 CF⊥x 轴于 F，问 CF 与 AE 有怎样的数量关系？并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）C（﹣1，4）；（2）OA=CD+OD；（3）CF= AE．

【解析】

（1）作CH⊥y轴与D,得OA=3,OB=1,根据等腰三角形的性质得BA=BC，∠ABC=90°，再利用等角的余角相等得∠CBH=∠BAO，证明△ABO≌△BCH，即可求出点C坐标,

（2）证明△ABO≌△BCH，得OB=CD,OA=BD,∴OA=CD+OD,

（3）如图 3，CF 和 AB 的延长线相交于点 D，证明△ABE≌△CBD， 得AE=CD，再利用对称性质得CF=DF，即可解题.

解：（1）作 CH⊥y 轴于 D，如图 1，

∵点 A 的坐标是（﹣3，0），点 B 的坐标是（0，1），

∴OA=3，OB=1，

∵△ABC 是等腰直角三角形，

∴BA=BC，∠ABC=90°，

∴∠ABO+∠CBH=90°，

∵∠ABO+∠BAO=90°，

∴∠CBH=∠BAO，

在△ABO和△BC中

∴△ABO≌△BCH，

∴OB=CH=1，OA=BH=3，

∴OH=OB+BH=1+3=4，

∴C（﹣1，4）；

（2）OA=CD+OD．理由如下：如图2，

∵△ABC 是等腰直角三角形，

∴BA=BC，∠ABC=90°，

∴∠ABO+∠CBD=90°，

∵∠ABO+∠BAO=90°，∴∠CBD=∠BAO，

在△ABO 和△BCD 中

∴△ABO≌△BCD，

∴OB=CD，OA=BD，

而 BD=OB+OD=CD+OD，

∴OA=CD+OD；

（3）CF= AE．理由如下：

如图 3，CF 和 AB 的延长线相交于点 D，

∴∠CBD=90°，

∵CF⊥x，

∴∠BCD+∠D=90°，∠DAF+∠D=90°，

∴∠BCD=∠DAF，

在△ABE 和△CBD中

∴△ABE≌△CBD，

∴AE=CD，

∵x 轴平分∠BAC，CF⊥x 轴，

∴CF=DF，

∴CF= CD= AE．