Question

5．抛物线y=-x²+10，直线l过点F（0，4），交抛物线于P、Q两点，是否存在直线l，使S_△POF：S_△QOF=1：3？若存在，求直线l的解析式；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 根据直线l过F（0，4），设直线l的解析式为y=kx+4，根据题意设P（a，-a²+10），Q（-3a，-9a²+10），代入直线l的解析式y=kx+4，即可求得k的值，进而求得直线l的解析式．

解答 解：设P（a，-a²+10），
∵S_△EOC：S_△FOC=1：3，
∴Q（-3a，-9a²+10），
∵直线与y轴的交点坐标为（0，4），
∴设直线l的解析式为y=kx+4，
把P、Q代入得
$\left\{\begin{array}{l}{-{a}^{2}+10=ak+4}\\{-9{a}^{2}+10=-3ak+4}\end{array}\right.$，
解得k=±2$\sqrt{2}$，
∴直线l的解析式为y=2$\sqrt{2}$x+4或y=-2$\sqrt{2}$x+4．

点评 本题考查了二次函数的性质，待定系数法求一次函数的解析式，分析出P、Q两点的横坐标的特点是解题的关键．