Question

14．阅读下列材料：关于x的方程x²-3x+1=0（x≠0）
方程两边同时乘以$\frac{1}{x}$得：x-3+$\frac{1}{x}$=0即x+$\frac{1}{x}$=3
（x+$\frac{1}{x}$）²=x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$+2•x•$\frac{1}{x}$=x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$+2
x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$=（x+$\frac{1}{x}$）²-2=3²-2=7
根据以上材料，解答下列问题：
（1）x²-4x+1=0（x≠0），则x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$=14，x⁴+$\frac{1}{{x}^{4}}$=194
（2）2x²-7x+2=0（x≠0），求x³+$\frac{1}{{x}^{3}}$的值．

Answer 1

分析 （1）根据例题方程两边同时除以x，即可求得x+$\frac{1}{x}$的值，然后平方即可求得x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$的值，然后再平方求得x4+$\frac{1}{{x}^{4}}$的值；
（2）首先方程两边除以2x即可求得x+$\frac{1}{x}$的值，然后平方即可求得x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$的值，然后利用立方差公式求解．

解答 解：（1）方程两边同时乘以$\frac{1}{x}$得：x-4+$\frac{1}{x}$=0，则x+$\frac{1}{x}$=4，
两边平方得x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$+2=16，则x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$=14，
两边平方得x⁴+$\frac{1}{{x}^{4}}$+2=196，则x⁴+$\frac{1}{{x}^{4}}$=194．
故答案是：14，194；
（2）方程两边同时除以2x得x-$\frac{7}{2}$+$\frac{1}{x}$=0，
则x+$\frac{1}{x}$=$\frac{7}{2}$，
两边平方得x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$+2=$\frac{49}{4}$，则x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{41}{4}$，
x³+$\frac{1}{{x}^{3}}$=（x+$\frac{1}{x}$）（x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$-1）=$\frac{7}{2}$×（$\frac{41}{4}$-1）=$\frac{7}{2}$×$\frac{37}{4}$=$\frac{259}{8}$．

点评 本题考查平方差公式以及立方差公式，正确理解平方差公式的变形是关键．