Question

【题目】如图：△ABC中，ACB=90°，AC=BC，AB=4，点E在BC上，且BE=2，点P在ABC的平分线BD上运动，则PE+PC的长度最小值为（）


A.1
B.
C.
D.

Answer 1

【答案】B
【解析】作点E关于BD的对称点E'，连接E'C，如下图：

∵BD是∠ ABC的平分线，
∴通过作图知，BP垂直平分EE'，
∴PE'=PE
∴此时PE+PC=PE'+PC=E'C，PE+PC的长度最小，
∵点E、点E'关于BD的对称，∴BE'=BE=2，
又∵AB=4，∴点E'是AB中点，CE'是中线.
∵△ABC中， ∠ ACB=90°，AC=BC，
∴△ABC是等腰直角三角形，∠ ABC=45，
∴CE'又是底边AB的高，
∴△BE'C也是等腰直角三角形，
∴E'C=2，
即：PE+PC的长度最小值为2.
故选B.
【考点精析】根据题目的已知条件，利用三角形的“三线”和轴对称-最短路线问题的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握1、三角形角平分线的三条角平分线交于一点(交点在三角形内部，是三角形内切圆的圆心，称为内心);2、三角形中线的三条中线线交于一点(交点在三角形内部，是三角形的几何中心，称为中心);3、三角形的高线是顶点到对边的距离；注意：三角形的中线和角平分线都在三角形内；已知起点结点，求最短路径；与确定起点相反，已知终点结点，求最短路径；已知起点和终点，求两结点之间的最短路径；求图中所有最短路径．