[题目]如图.抛物线y=ax+bx+c(a≠0)与x轴交于点A(-1,0).B(4,0)两点.与y轴交于点C.且OC=3OA.点P是抛物线上的一个动点.过点P作PE⊥x轴于点E.交直线BC于点D.连接PC.(1)求抛物线的解析式,(2)当点P在抛物线上运动时.将△CPD沿直线CP翻折.点D的对应点为点Q.试问四边形CDPQ是否能成为菱形?如果能.请求出此时点P的坐标.如果不能.请说明� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

【题目】如图，抛物线y=ax+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（-1,0），B（4,0）两点，与y轴交于点C，且OC=3OA，点P是抛物线上的一个动点，过点P作PE⊥x轴于点E，交直线BC于点D，连接PC.

（1）求抛物线的解析式；

（2）当点P在抛物线上运动时，将△CPD沿直线CP翻折，点D的对应点为点Q，试问四边形CDPQ是否能成为菱形？如果能，请求出此时点P的坐标，如果不能，请说明理由．

【答案】（1）y=x+x+3,；（2）见解析.

【解析】

（1）关键已知点求解析式即可（2）假设存在这样的点，关键菱形的证明方法去找出条件证明.

解：（1）由OC=3OA，得C（0,3），将A（-1,0），B（4,0），C（0,3）代入y=ax+bx+c 中，得：解得，故抛物线的解析式为：y=x+x+3,；

（2）存在这样的Q点，使得四边形CDPQ是菱形，如图1，当点Q落在y轴上时，四边形CDPQ是菱形，理由是：由轴对称的性质知：CD=CQ，PQ=PD,∠PCQ=∠PCD，当点Q落在y轴上时，CQ//PD,∴ ∠PCQ=∠CPD，∴∠PCD=∠CPD，∴CD=PD, ∴CD=DP=PQ=QC,∴四边形CDPQ是菱形，过D作DG⊥y轴于点G，设P（n，- n+ n+3），

设一次函数解析式为B（4,0），C（0,3）带入求得一次函数解析式为：

则D（n，- n+3），

在Rt△CGD中，CD==

而 PD==，∵PD=CD，∴- n+3n=n…①或- n+3n=-n…②，解方程①得：n=或n=0（不符合条件，舍去），解方程②得：n= 或n=0，（不符合条件，舍去），当n= 时，P（，），如图1，当n= 时，P（，- ）如图2，综上所述，存在这样的Q点，使得四边形CDPQ是菱形，此时点P的坐标为（，）或（，- ）.

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