Question

【题目】如图，已知抛物线经过，，三点．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）在直线上方的该抛物线上是否存在一点，使得的面积最大？若存在，求出点的坐标及面积的最大值；若不存在，请说明理由．

（3）是直线右侧的该抛物线上一动点，过作轴，垂足为，是否存在点，使得以、、为顶点的三角形与相似？若存在，请求出符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y= -x2+x-2；（2）存在，当D（2，1），△DAC面积的最大值为4；（3）存在，符合条件的点P为P1（2，1）和P2（5，-2）

【解析】

（1）由抛物线经过A(4，0)，B(1，0)，C(0，-2)三点，利用待定系数法即可求得该抛物线的解析式；

（2）设D点的横坐标为t(0＜t＜4)，则D点的纵坐标为-t2+t-2，过D作y轴的平行线交AC于E．即可求得DE的长，继而可求得S△DCA=-(t-2)2+4，然后由二次函数的性质，即可求得点D的坐标及△DCA面积的最大值；

（3）设P(m，-m2+m-2)，则m＞1；然后分两种情况求解：Ⅰ．当1＜m＜4时，①当时，△APM∽△ACO，②当时，△APM∽△CAO；Ⅱ．当m＞4时，与Ⅰ同理即可求解．

∵该抛物线过点C(0，-2)，

∴可设该抛物线的解析式为y=ax2+bx-2．

将A(4，0)，B(1，0)代入y=ax2+bx-2，

得得： ，

∴该抛物线的解析式为y= -x2+x-2；

（2）存在．

如图1，

设D点的横坐标为t(0＜t＜4)，则D点的纵坐标为-t2+t-2．过D作y轴的平行线交AC于E．

设直线AC的解析式为：y=mx+n，

则，

解得：，

由题意可求得直线AC的解析式为y=x-2．

∴E点的坐标为(t，t-2)．

∴DE=t2+-2-(t-2)=-t2+2t．

∴S△DCA=S△CDE+S△ADE=×DE×OA=×(-t2+2t)×4= -t2+4t= -(t-2)2+4．

∴当t=2时，S最大=4．

∴当D(2，1)，△DAC面积的最大值为4；

（3）存在．

如图2，设P(m，m2+m-2)，则m＞1．

Ⅰ．当1＜m＜4时，

则AM=4-m，PM=m2+m-2．

又∵∠COA=∠PMA=90°，

∴①当时，△APM∽△ACO，

∴，

∴4-m=2(m2+m-2)，

解得m1=2，m2=4（舍去），

∴P1（2，1）；

②当时，△APM∽△CAO，

∴，

∴2(4-m)=m2+m-2，

解得m3=4（舍去），m4=5（舍去），

∴当1＜m＜4时，P1(2，1)；

Ⅱ．当m＞4时，同理可求P2(5，-2)．

综上所述，符合条件的点P为P1(2，1)和P2(5，-2)．