【题目】如图,已知AC是矩形ABCD的对角线,AC的垂直平分线EF分别交BC、AD于点E和F,EF交AC于点O.
(1)求证:四边形AECF是菱形;(2)若AB=6,AD=8,求四边形AECF的周长.
【答案】(1)见解析;(2)25
【解析】
(1)根据四边相等的四边形是菱形即可判断;
(2)设AE=EC为x,利用勾股定理解答即可.
(1)证明:∵四边形ABCD是矩形
∴AD∥BC,
∴∠DAC=∠ACB,
∵EF垂直平分AC,
∴AF=FC,AE=EC,
∴∠FAC=∠FCA,
∴∠FCA=∠ACB,
∵∠FCA+∠CFE=90°,∠ACB+∠CEF=90°,
∴∠CFE=∠CEF,
∴CE=CF,
∴AF=FC=CE=AE,
∴四边形AECF是菱形.
(2)设AE=EC为x,则BE=(8-x)
在Rt△ABE中,AE2=AB2+BE2,
即x2=62+(8-x)2,
解得:x=,
所以四边形AECF的周长=×4=25.
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【题目】如图,AD∥BC,BD为∠ABC的角平分线,DE、DF分别是∠ADB和∠ADC的角平分线,且∠BDF=α,则∠A与∠C的等量关系是________________(等式中含有α)
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【题目】(知识链接)斐波那契(约 1170﹣1250,意大利数学家)数列是按某种规律排列的一列数,他发现该数列中的每个正整数都可以用无理数的形式表示,如第 n(n 为正整数)个数 an 可表示为.
(知识运用)计算第一个数 a1 和第二个数 a2;
(探究证明)证明连续三个数之间 an﹣1,an,an+1 存在以下关系:an+1﹣an=an﹣1(n≥2).
(探究拓展)根据上面的关系,请写出斐波那契数列中的前 8 个数.
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【题目】如图△ABC中,分别延长边AB、BC、CA,使得BD=AB,CE=2BC,AF=3CA,若△ABC的面积为1,则△DEF的面积为________.
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【题目】如图:线段AB的端点在边长为1的正方形网格的格点上,现将线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°得到线段AC.
(1)请你用直尺和圆规在所给的网格中画出线段AC及点B经过的路径;
(2)若将此网格放在一平面直角坐标系中,已知点A的坐标为(1,3),点B的坐标为(﹣2,﹣1),则点C的坐标为;
(3)线段AB在旋转到线段AC的过程中,线段AB扫过区域的面积为
(4)若有一张与(3)中所说的区域形状相同的纸片,将它围成一个圆锥的侧面,则该圆锥底面圆的半径长为 .
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【题目】如图,四边形ABCD与ECGF是两个边长分别为a、b的正方形,
(1)用a、b表示△BGF的面积的代数式S1=
(2)当a=4cm、b=6cm时,求△BGF的面积.
(3)求出阴影部分的面积的代数式S2 (用a、b表示)
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【题目】如图,方格纸中每个小正方形的边长都是单位1,△ABC的三个顶点都在格点上,结合所给的平面直角坐标系解答下列问题:
(1)将△ABC向右平移3个单位长度再向下平移2个单位长度,画出两次平移后的△A1B1C1;
(2)写出A1、C1的坐标;
(3)将△A1B1C1绕C1逆时针旋转90°,画出旋转后的△A2B2C1 , 求△A1B1C1旋转过程中扫过的面积(结果保留π)
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【题目】如图,在平行四边形ABCD中,过点B作BE∥AC,在BG上取点E,连接DE交AC的延长线于点F.
(1)求证:DF=EF;
(2)如果AD=2,∠ADC=60°,AC⊥DC于点C,AC=2CF,求BE的长.
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【题目】在平面直角坐标系中,△ABC 的三个顶点的位置如图所示,点 A′的坐标是(-2,2),现将△ABC 平移,使点 A 变换为点 A′,点 B′、C′分别是 B、C 的对应点.
(1) 请画出平移后的△A′B′C′(不写画法),并直接写出点B′、C′的坐标:B′ 、C′ ;
(2) 若△ABC 内部一点 P 的坐标为(,),则点 P 的对应点 P′的坐标是 ;
(3) 连接 A′B,CC′,并求四边形 A′BCC′的面积.
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