Question

【题目】如图，在中，点在上，，，交于点，过点作的垂线交于点，连接．

（1）求证：；

（2）连接交于点，已知，求证：．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【解析】

（1）由“ASA”可证△BMD≌△CND，可得BD=CD，由线段垂直平分线的性质可得PB=PC；
（2）如图，在PC上取点F，使CF=CN，连接EF，由“SAS”可证△CEN≌△CEF，可得EN=EF，∠CNP=∠CFE，由等腰三角形的判定可得EN=EF=PF，即可得结论．

证明：（1）∵CN∥AB，
∴∠B=∠BCN，∠BMD=∠CND，且BM=CN，
∴△BMD≌△CND（ASA）
∴BD=CD，且PD⊥BC，
∴PB=PC；
（2）如图，在PC上取点F，使CF=CN，连接EF，

∵PB=PC，
∴∠PCB=∠B，
∴∠PCB=∠NCB，且CF=CN，CE=CE，
∴△CEN≌△CEF（SAS），
∴EN=EF，∠CNP=∠CFE，
∵∠CFE=∠CPN＋∠PEF，∠CNP=2∠CPN，
∴∠CPE=∠PEF，
∴PF=EF，
∴EN=EF=PF，
∵BP=PC，BM=CN=CF，
∴PM=PF=EN．