Question

【题目】如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点，点关于抛物线的对称轴的对称点为，点，分别在轴和轴上，则四边形周长的最小值为__________．

Answer 1

【答案】

【解析】

根据抛物线解析式求得点D（1，4）、点E（2，3），作点D关于y轴的对称点D′（﹣1，4）、作点E关于x轴的对称点E′（2，﹣3），从而得到四边形EDFG的周长＝DE＋DF＋FG＋GE＝DE＋D′F＋FG＋GE′，当点D′、F、G、E′四点共线时，周长最短，据此根据勾股定理可得答案.

如图，

在y＝﹣x2＋2x＋3中，当x＝0时，y＝3，即点C（0,3），

∵y＝﹣x2＋2x＋3＝﹣（x－1）2＋4，

∴对称轴为x＝1，顶点D（1,4），

则点C关于对称轴的对称点E的坐标为（2,3），

作点D关于y轴的对称点D′（﹣1,4），作点E关于x轴的对称点E′（2，﹣3）,

连结D′、E′，D′E′与x轴的交点G、与y轴的交点F即为使四边形EDFG的周长最小的点，

四边形EDFG的周长＝DE＋DF＋FG＋GE

＝DE＋D′F＋FG＋GE′

＝DE＋D′E′

＝

＝

∴四边形EDFG周长的最小值是.