【题目】在直角坐标系中,点A是抛物线y=x2在第二象限上的点,连接OA,过点O作OB⊥OA,交抛物线于点B,以OA、OB为边构造矩形AOBC.
(1)如图1,当点A的横坐标为时,矩形AOBC是正方形;
(2)如图2,当点A的横坐标为- 时,
①求点B的坐标;
②将抛物线y=x2作关于x轴的轴对称变换得到抛物线y=﹣x2 , 试判断抛物线y=﹣x2经过平移交换后,能否经过A,B,C三点?如果可以,说出变换的过程;如果不可以,请说明理由.
【答案】
(1)-1
(2)
解:①如图2,过点A作AE⊥x轴于点E,过点B作BF⊥x轴于点F,
当x=﹣ 时,y=(﹣ )2= ,
即OE= ,AE= ,
∵∠AOE+∠BOF=180°﹣90°=90°,
∠AOE+∠EAO=90°,
∴∠EAO=∠BOF,
又∵∠AEO=∠BFO=90°,
∴△AEO∽△OFB,
∴ = = ,
设OF=t,则BF=2t,
∴t2=2t,
解得:t1=0(舍去),t2=2,
∴点B(2,4);
②如图2,过点C作CG⊥FB的延长线于点G,
∵∠AOE+∠EAO=90°,∠FBO+∠CBG=90°,∠AOE=∠FBO,
∴∠EAO=∠CBG,
在△AEO和△BGC中, ,
∴△AEO≌△BGC(AAS),
∴CG=OE= ,BG=AE= .
∴xc=2﹣ = ,yc=4+ = ,
∴点C( , ),
设过A(﹣ , )、B(2, 4)两点的抛物线解析式为y=﹣x2+bx+c,由题意得, ,
解得 ,
∴经过A、B两点的抛物线解析式为y=﹣x2+3x+2,
当x= 时,y=﹣( )2+3× +2= ,所以点C也在此抛物线上,
故经过A、B、C三点的抛物线解析式为y=﹣x2+3x+2=﹣(x﹣ )2+ .
平移方案:先将抛物线y=﹣x2向右平移 个单位,再向上平移 个单位得到抛物线y=﹣(x﹣ )2+ .
【解析】解:(1)如图1,过点A作AD⊥x轴于点D,
∵矩形AOBC是正方形,
∴∠AOC=45°,
∴∠AOD=90°﹣45°=45°,
∴△AOD是等腰直角三角形,
设点A的坐标为(﹣a,a)(a≠0),
则(﹣a)2=a,
解得a1=1,a2=0(舍去),
∴点A的横坐标﹣a=﹣1,
故答案为:﹣1;
(1)过点A作AD⊥x轴于点D,根据正方形的对角线平分一组对角可得∠AOC=45°,所以∠AOD=45°,从而得到△AOD是等腰直角三角形,设点A坐标为(﹣a,a),然后利用点A在抛物线上,把点的坐标代入解析式计算即可得解;(2)①过点A作AE⊥x轴于点E,过点B作BF⊥x轴于点F,先利用抛物线解析式求出AE的长度,然后证明△AEO和△OFB相似,根据相似三角形对应边成比例列式求出OF与BF的关系,然后利用点B在抛物线上,设出点B的坐标代入抛物线解析式计算即可得解;②过点C作CG⊥BF于点G,可以证明△AEO和△BGC全等,根据全等三角形对应边相等可得CG=OE,BG=AE,然后求出点C的坐标,再根据对称变换以及平移变换不改变抛物线的形状利用待定系数法求出过点A、B的抛物线解析式,把点C的坐标代入所求解析式进行验证变换后的解析式是否经过点C,如果经过点C,把抛物线解析式转化为顶点式解析式,根据顶点坐标写出变换过程即可.
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【题目】如图,点E在线段CD上,AE,BE分别平分∠DAB和∠CBA,∠AEB=90°,设AD=x,BC=y,且(x-3)2+|y-4|=0.
(1)求AD和BC的长;
(2)你认为AD和BC有怎样的位置关系?并说明理由.
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【题目】如图,在△ABC中,BE是它的角平分线,∠C=90°,D在AB边上,以DB为直径的半圆O经过点E,交BC于点F.
(1)求证:AC是⊙O的切线;
(2)已知sinA= ,⊙O的半径为4,求图中阴影部分的面积.
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【题目】小明购买了一套安居型商品房,他准备将地面铺上地砖,地面结构如图所示.请根据图中的数据(单位:m),解答下列问题:
(1)用含x、y的代数式表示地面总面积;
(2)若x=5,y=,铺1m2地砖的平均费用为80元,那么铺地砖的总费用为多少元?
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【题目】已知有理数a,b,c在数轴上所对应的点分别是A,B.C三点,且a,b满足,①多项式x|a|+(a﹣2)x+7是关于x的二次三项式:②(b﹣1)2+|c﹣5|=0
(1)请在图1的数轴上描出A,B,C三点,并直接写出a,b,c三数之间的大小关系 用“<”连接);
(2)点P为数轴上C点右侧一点,且点P到A点的距离是到C点距高的2倍,求点P在数轴上所对应的有理数;
(3)点A在数轴上以每秒1个单位长度的速度向左运动,同时点B和点C在数轴上分别以每秒m个单位长度和4个单位长度的速度向右运动(其中m<4),若在整个运动的过程中,点B到点A的距离与点B到点C的距离差始终不变,求m的值.
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【题目】湘西自治州风景优美,物产丰富,一外地游客到某特产专营店,准备购买精加工的豆腐乳和猕猴桃果汁两种盒装特产.若购买3盒豆腐乳和2盒猕猴桃果汁共需180元;购买1盒豆腐乳和3盒猕猴桃果汁共需165元.
(1)请分别求出每盒豆腐乳和每盒猕猴桃果汁的价格;
(2)该游客购买了4盒豆腐乳和2盒猕猴桃果汁,共需多少元?
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【题目】某企业研制的产品今年第一季度的销售数量为300件,第二季度由于市场等因素,销售数量比第一季度减少了4%,从第三季度起,该企业搞了一系列的促销活动,销售数量又有所提升,第四季度的销售量达到了450件,假设第三季度与第四季度销售数量的增长率相同,求这个增长率.
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【题目】如图,△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,∠BAC=∠DAE=90°,四边形ACDE是平行四边形,连接CE交AD于点F,连接BD交CE于点G,连接BE.下列结论中:
①CE=BD;
②△ADC是等腰直角三角形;
③∠ADB=∠AEB;
④CDAE=EFCG;
一定正确的结论有( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
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