Question

19．已知[x]表示不大于x的最大整数，对于a∈R，确定[$\sqrt{{a}^{2}+a+1}$-$\sqrt{{a}^{2}-a+1}$]的值．

Answer 1

分析 把$\sqrt{{a}^{2}+a+1}$-$\sqrt{{a}^{2}-a+1}$，看作点（a，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）到点（-$\frac{1}{2}$，0），（$\frac{1}{2}$，0）的距离差．分三种情况①当a＞0时，②当a=0时，③当a＜0时分别求解即可．

解答 解：$\sqrt{{a}^{2}+a+1}$-$\sqrt{{a}^{2}-a+1}$=$\sqrt{[a-（-\frac{1}{2}）]^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{2}-0）^{2}}$-$\sqrt{（a-\frac{1}{2}）^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{2}-0）^{2}}$，可看作点（a，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）到点（-$\frac{1}{2}$，0），（$\frac{1}{2}$，0）的距离差．
①如图1，当a＞0时，

利用三角形三边关系可得0＜$\sqrt{{a}^{2}+a+1}$-$\sqrt{{a}^{2}-a+1}$＜1，
∵[x]表示不大于x的最大整数，
∴[$\sqrt{{a}^{2}+a+1}$-$\sqrt{{a}^{2}-a+1}$]=0，
②如图2，当a=0时，

$\sqrt{{a}^{2}+a+1}$-$\sqrt{{a}^{2}-a+1}$=0，
∵[x]表示不大于x的最大整数，
∴[$\sqrt{{a}^{2}+a+1}$-$\sqrt{{a}^{2}-a+1}$]=0，
③如图3，当a＜0时，

利用三角形三边关系可得-1＜$\sqrt{{a}^{2}+a+1}$-$\sqrt{{a}^{2}-a+1}$＜0，
∵[x]表示不大于x的最大整数，
∴[$\sqrt{{a}^{2}+a+1}$-$\sqrt{{a}^{2}-a+1}$]=-1，
综上所述：当a≥0时，[$\sqrt{{a}^{2}+a+1}$-$\sqrt{{a}^{2}-a+1}$]=0，
当a＜0时，[$\sqrt{{a}^{2}+a+1}$-$\sqrt{{a}^{2}-a+1}$]=-1．

点评 本题主要考查了取整计算，解题的关键是利用数形结合，分类讨论的数学思想．