Question

【题目】已知，AB是⊙O的直径，AB＝8，点C在⊙O的半径OA上运动，PC⊥AB，垂足为C，PC＝5，PT为⊙O的切线，切点为T．

（1）如图1，当C点运动到O点时，求PT的长；

（2）如图2，当C点运动到A点时，连接PO、BT，求证：PO∥BT；

（3）如图3，设PT＝y，AC＝x，求y与x的解析式并求出y的最小值．

Answer 1

【答案】（1）PT＝3；（2）见解析；（3）y＝，y最小＝3．

【解析】

（1）连接OT，根据题意，由勾股定理可得出PT的长；

（2）连接OT，则OP平分劣弧AT，则∠AOP＝∠B，从而证出结论；

（3）设PC交⊙O于点D，延长线交⊙O于点E，由相交弦定理，可得出CD的长，再由切割线定理可得出y与x之间的关系式，进而求得y的最小值．

解：如图（1），连接OT，

∵PC＝5，OT＝4，

∴由勾股定理得，

（2）证明：如图（2）连接OT，

∵PT，PC为⊙O的切线，

∴∠OPA＝∠OPT，∠PAO＝∠PTO，

∴∠POA＝∠POT，

∵∠AOT＝2∠B，

∴∠AOP＝∠B，

∴PO∥BT；

（3）解：如图（3），连接PO，PT

∵AB是⊙O的直径，AB＝8，AC＝x

∴CO＝4﹣x；

又∵PC⊥AB

∴

∴y＝

∴．