Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+4经过A（﹣3，0）、B（4，0）两点，且与y轴交于点C，D（4﹣4，0）．动点P从点A出发，沿线段AB以每秒1个单位长度的速度向点B移动，同时动点Q从点C出发，沿线段CA以某一速度向点A移动．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）若经过t秒的移动，线段PQ被CD垂直平分，求此时t的值；

（3）在第一象限的抛物线上取一点G，使得S△GCB＝S△GCA，再在抛物线上找点E（不与点A、B、C重合），使得∠GBE＝45°，求E点的坐标．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

（1）直接利用待定系数法求二次函数解析式得出即可；

（2）首先求出△AQD∽△ACB，则，得出DQ＝DP的长，进而得出答案；

（3）首先得出G点坐标，进而得出△BGM∽△BEN，进而假设出E点坐标，利用相似三角形的性质得出E点坐标．

解：（1）将A（﹣3，0）、B（4，0）代入y＝ax2+bx+4得：

，

解得：，

故抛物线的解析式为：；

（2）如图，连接QD，

由B（4，0）和D（，0），

可得BD＝，

∵，

∴CO＝4，

∴BC＝4，则BC＝BD，

∴∠BDC＝∠BCD＝∠QDC，

∴DQ∥BC，

∴△AQD∽△ACB，

∴，

∴，

∴DQ＝＝DP，

；

（3）如图，过点G作GM⊥BC于点M，过点E作EN⊥AB于点N，

∵S△GCB＝S△GCA，

∴只有CG∥AB时，G点才符合题意，

∵C（0，4），

∴4＝﹣x2+x+4，

解得：x1＝1，x2＝0，

∴G（1，4），

∵∠GBE＝∠OBC＝45°，

∴∠GBC＝∠ABE，

∴△BGM∽△BEN，

∴，

设E

∴

解得，x2＝4（舍去），

则E．