【题目】小南利用几何画板画图,探索结论,他先画∠MAN=90°,在射线AM上取一点B,在射线AN上取一点C,连接BC,再作点A关于直线BC的对称点D,连接AD、BD,得到如图所示图形,移动点C,小南发现:当AD=BC时,∠ABD=90°;请你继续探索;当2AD=BC时,∠ABD的度数是_____.
【答案】30°或150°
【解析】
分两种情况,取BC的中点E,连接AE,DE,依据直角三角形斜边上中线的性质,即可得到△ADE是等边三角形,进而依据轴对称的性质得出∠ABD的度数.
解:分两种情况:
如图,当AB>AC时,取BC的中点E,连接AE,DE,
则AE=DE=BC,
即BC=2AE=2DE,
又∵BC=2AD,
∴AD=AE=DE,
∴△ADE是等边三角形,
∴∠AED=60°,
又∵BC垂直平分AD,
∴∠AEC=30°,
又∵BE=AE,
∴∠ABC=∠AEC=15°,
∴∠ABD=2∠ABC=30°;
如图,当AB<AC时,同理可得∠ACD=30°,
又∵∠BAC=∠BDC=90°,
∴∠ABD=150°,
故答案为:30°或150°.
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【题目】如图,四边形ABCD是菱形,对角线AC,BD相交于点O,DH⊥AB于点H,连接OH,∠CAD=20°,则∠DHO的度数是( )
A.20°B.25°C.30°D.40°
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【题目】如图①,中,,是的中点,过点作于点;过点作,交的延长线于点.
(1)求证:;
(2)某数学兴趣小组解答(1)后发现,在图中只需将剪下来拼到处,就可得到一个与等面积的矩形继续讨论后又发现,任意三角形也可以剪拼成一个等面积的矩形,请你在图②中画出一种剪拼示意图,并简要说明作法(不需要证明)
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【题目】如图1,已知是等腰直角三角形,,点D是BC的中点作正方形DEFG,使点A、C分别在DG和DE上,连接AE,BG.
试猜想线段BG和AE的数量关系是______;
将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转,
判断中的结论是否仍然成立?请利用图2证明你的结论;
若,当AE取最大值时,求AF的值.
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【题目】在平面直角坐标系中,抛物线顶点为.
(1)点坐标为______(结果用表示).
(2)当时,如图所示,该抛物线与轴交于,两点.为抛物线第二象限一点,过作的垂线,垂足为,为射线上一点,若,求;
(3),,若该抛物线与线段只有一个公共点,求的取值范围.
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【题目】某兴趣小组为了了解本校男生参加课外体育锻炼情况,随机抽取本校300名男生进行了问卷调查,统计整理并绘制了如下两幅尚不完整的统计图.
请根据以上信息解答下列问题:
(1)课外体育锻炼情况扇形统计图中,“经常参加”所对应的圆心角的度数为________;
(2)请补全条形统计图;
(3)该校共有1200名男生,请估计全校男生中经常参加课外体育锻炼并且最喜欢的项目是篮球的人数;
(4)小明认为“全校所有男生中,课外最喜欢参加的运动项目是乒乓球的人数约为1200×=108”,请你判断这种说法是否正确,并说明理由.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,菱形ABCD的边AB在x轴上,点B坐标(﹣3,0),点C在y轴正半轴上,且sin∠CBO=,点P从原点O出发,以每秒一个单位长度的速度沿x轴正方向移动,移动时间为t(0≤t≤5)秒,过点P作平行于y轴的直线l,直线l扫过四边形OCDA的面积为S.
(1)求点D坐标.
(2)求S关于t的函数关系式.
(3)在直线l移动过程中,l上是否存在一点Q,使以B、C、Q为顶点的三角形是等腰直角三角形?若存在,直接写出Q点的坐标;若不存在,请说明理由.
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