Question

【题目】某公司生产的一种商品其售价是成本的1.5倍，当售价降低5元时商品的利润率为25%．若不进行任何推广年销售量为1万件．为了获得更好的利益，公司准备拿出一定的资金做推广，根据经验，每年投入的推广费x万元时销售量y（万件）是x的二次函数：当x为1万元时，y是1.5（万件）．当x为2万元时，y是1.8（万件）．

（1）求该商品每件的的成本与售价分别是多少元？

（2）求出年利润与年推广费x的函数关系式；

（3）如果投入的年推广告费为1万到3万元（包括1万和3万元），问推广费在什么范同内，公司获得的年利润随推广费的增大而增大？

Answer 1

【答案】（1）该商品每件的的成本与售价分别是20元、30元；（2）；（3）推广费在1万元到2．5万元（包括1万元和2．5万元）时，公司获得的年利润随推广费的增大而增大．

【解析】

（1）根据售价成本价＝利润，成本价乘以利润率＝利润，列方程即可求解；

（2）根据每年投入的推广费x万元时销售量y（万件）是x的二次函数，代入所给数据即可求解；

（3）根据年利润＝单件利润乘以销售量再减去推广费即可列出二次函数，根据二次函数的性质即可确定推广费的取值范围．

（1）设该商品每件的的成本为a元，则售价为元1.5a元，

根据题意，得

1.5a﹣5﹣a＝25%a，

解得a＝20，则1.5a＝30，

答：该商品每件的的成本与售价分别是20元、30元．

（2）根据题意每年投入的推广费x万元时销售量y（万件）是x的二次函数，

设y＝ax2+bx+c

∵不进行任何推广年销售量为1万件，即当x＝0时，y＝1（万件），

当x为1万元时，y是1.5（万件）．当x为2万元时，y是1.8（万件）．

∴

解得

所以销售量y与推广费x的函数解析式为．

所以设公司获得的年利润为w万元，

答：年利润与年推广费x的函数关系式为w＝10y＝﹣x2+6x+10．

（3）公司获得的年利润为w万元，根据题意，得

w＝10y﹣x

＝10（﹣x2+x+1）﹣x

＝﹣x2+5x+10

＝﹣（x﹣）2+

∵1≤x≤3，

∴当1≤x≤2.5时，w随x的增大而增大，

答：推广费在1万元到2.5万元（包括1万元和2.5万元）时，公司获得的年利润随推广费的增大而增大．