Question

如图，△ABC中，∠BAC为直角，AD是边BC上的中线，过点A作AE∥BC，过点D作DE∥AB，DE与AC、AE分别交于点O、点E，连接EC．
（1）求证：四边形ADCE是菱形；
（2）若AB=AO，求tan∠OAD的值．

Answer 1

解：（1）证明：∵DE∥AB，AE∥BC，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴AE∥BD且AE=BD，
又∵AD是边BC上的中线，
∴BD=CD，
∴四边形ADCE是平行四边形
∴AD=EC，
又∵∠BAC=90°，AD上斜边BC上的中线，
∴AD=BD=CD
又∵四边形ADCE是平行四边形
∴四边形ADCE是菱形；

（2）∵四边形ADCE是菱形，
∴AO=CO，∠AOD=90°
又∵BD=CD，
∴OD是△ABC的中位线，则OD=AB，
∵AB=AO，
∴OD=AO，
∴在Rt△OAD中，tan∠OAD=．
分析：（1）先证四边形ABDE是平行四边形，再证四边形ADCE是平行四边形，即得AD=CE；再由∠BAC=90°，AD上斜边BC上的中线，即得AD=BD=CD，证得四边形ADCE是平行四边形，即证；
（2）利用（1）的结论和三角形中位线的性质即可求出tan∠OAD的值．
点评：本题考查了平行四边形和菱形的判定和性质以及直角三角形的性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）和正切定义的考查，锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA．即tanA==．