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【题目】已知:如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,OAB的顶点AB的坐标分别是A(0,5),B(3,1),过点BBCAB交直线于点C,连结AC,以点A为圆心,AC为半径画弧交x轴负半轴于点D,连结ADCD

(1)求证:ABC≌△AOD

(2)ACD的面积为,求关于的函数关系式

(3)若四边形ABCD恰有一组对边平行,求的值

【答案】1)证明详见解析;(2S=m+12+m);(338

【解析】

试题(1)利用两点间的距离公式计算出AB=5,则AB=OA,则可根据“HL”证明△ABC≌△AOD

2)过点B作直线BE⊥直线y=﹣mE,作AF⊥BEF,如图,证明Rt△ABF∽Rt△BCE,利用相似比可得BC=m+1),再在Rt△ACB中,由勾股定理得AC2=AB2+BC2=25+m+12,然后证明△AOB∽△ACD,利用相似的性质得,而SAOB=,于是可得S=m+12+m);

3)作BH⊥y轴于H,如图,分类讨论:当AB∥CD时,则∠ACD=∠CAB,由△AOB∽△ACD∠ACD=∠AOB,所以∠CAB=∠AOB,利用三角函数得到tan∠AOB=3tan∠ACB=,所以=3;当AD∥BC,则∠5=∠ACB,由△AOB∽△ACD得到∠4=∠5,则∠ACB=∠4,根据三角函数定义得到tan∠4=tan∠ACB=,则=,然后分别解关于m的方程即可得到m的值.

试题解析:(1)证明:∵A05),B31),

∴AB==5

∴AB=OA

∵AB⊥BC

∴∠ABC=90°

Rt△ABCRt△AOD中,

∴Rt△ABC≌Rt△AOD

2)解:过点B作直线BE⊥直线y=﹣mE,作AF⊥BEF,如图,∵∠1+∠2=90°∠1+∠3=90°

∴∠2=∠3

∴Rt△ABF∽Rt△BCE

,即

∴BC=(m+1),

Rt△ACB中,AC2=AB2+BC2=25+m+12

∵△ABC≌△AOD

∴∠BAC=∠OAD,即∠4+∠OAC=∠OAC+∠5

∴∠4=∠5

AO=ABAD=AC

∴△AOB∽△ACD

=

SAOB=×5×3=

∴S=m+12+m);

3)作BH⊥y轴于H,如图,

AB∥CD时,则∠ACD=∠CAB

△AOB∽△ACD

∴∠ACD=∠AOB

∴∠CAB=∠AOB

tan∠AOB==3tan∠ACB===

=3,解得m=8

AD∥BC,则∠5=∠ACB

△AOB∽△ACD

∴∠4=∠5

∴∠ACB=∠4

tan∠4=tan∠ACB=

=

解得m=3

综上所述,m的值为38

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