【题目】已知:如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,△OAB的顶点A、B的坐标分别是A(0,5),B(3,1),过点B画BC⊥AB交直线于点C,连结AC,以点A为圆心,AC为半径画弧交x轴负半轴于点D,连结AD、CD.
(1)求证:△ABC≌△AOD.
(2)设△ACD的面积为,求关于的函数关系式.
(3)若四边形ABCD恰有一组对边平行,求的值.
【答案】(1)证明详见解析;(2)S=(m+1)2+(m>);(3)3或8.
【解析】
试题(1)利用两点间的距离公式计算出AB=5,则AB=OA,则可根据“HL”证明△ABC≌△AOD;
(2)过点B作直线BE⊥直线y=﹣m于E,作AF⊥BE于F,如图,证明Rt△ABF∽Rt△BCE,利用相似比可得BC=(m+1),再在Rt△ACB中,由勾股定理得AC2=AB2+BC2=25+(m+1)2,然后证明△AOB∽△ACD,利用相似的性质得,而S△AOB=,于是可得S=(m+1)2+(m>);
(3)作BH⊥y轴于H,如图,分类讨论:当AB∥CD时,则∠ACD=∠CAB,由△AOB∽△ACD得∠ACD=∠AOB,所以∠CAB=∠AOB,利用三角函数得到tan∠AOB=3,tan∠ACB=,所以=3;当AD∥BC,则∠5=∠ACB,由△AOB∽△ACD得到∠4=∠5,则∠ACB=∠4,根据三角函数定义得到tan∠4=,tan∠ACB=,则=,然后分别解关于m的方程即可得到m的值.
试题解析:(1)证明:∵A(0,5),B(3,1),
∴AB==5,
∴AB=OA,
∵AB⊥BC,
∴∠ABC=90°,
在Rt△ABC和Rt△AOD中,
,
∴Rt△ABC≌Rt△AOD;
(2)解:过点B作直线BE⊥直线y=﹣m于E,作AF⊥BE于F,如图,∵∠1+∠2=90°,∠1+∠3=90°,
∴∠2=∠3,
∴Rt△ABF∽Rt△BCE,
∴,即,
∴BC=(m+1),
在Rt△ACB中,AC2=AB2+BC2=25+(m+1)2,
∵△ABC≌△AOD,
∴∠BAC=∠OAD,即∠4+∠OAC=∠OAC+∠5,
∴∠4=∠5,
而AO=AB,AD=AC,
∴△AOB∽△ACD,
∴=,
而S△AOB=×5×3=,
∴S=(m+1)2+(m>);
(3)作BH⊥y轴于H,如图,
当AB∥CD时,则∠ACD=∠CAB,
而△AOB∽△ACD,
∴∠ACD=∠AOB,
∴∠CAB=∠AOB,
而tan∠AOB==3,tan∠ACB===,
∴=3,解得m=8;
当AD∥BC,则∠5=∠ACB,
而△AOB∽△ACD,
∴∠4=∠5,
∴∠ACB=∠4,
而tan∠4=,tan∠ACB=,
∴=,
解得m=3.
综上所述,m的值为3或8.
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【题目】如图,在四边形ABCD中,BC∥AD,添加下列条件,不能判定四边形ABCD是平行四边形的是( )
A.AB=CDB.AB∥CDC.∠A=∠CD.BC=AD
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=3,AC=4,沿CD折叠,使点B落在CA边上的B′处,展开后,再沿BE折叠,使点C落在BA边上的C′处,CD与BE交于点F.
(1)求AC′的长度;
(2)求CE的长度;
(3)比较四边形EC′DF与△BCF面积的大小,并说明理由.
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【题目】某商店老板准备购买A、B两种型号的足球共100只,已知A型号足球进价每只40元,B型号足球进价每只60元.
(1)若该店老板共花费了5200元,那么A、B型号足球各进了多少只;
(2)若B型号足球数量不少于A型号足球数量的,那么进多少只A型号足球,可以让该老板所用的进货款最少?
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【题目】如图,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过点(﹣1,2),且与x轴交点的横坐标分别为x1,x2,其中﹣2<x1<﹣1,0<x2<1,下列结论:①4a﹣2b+c<0;②2a﹣b<0;③a+c<1;④b2+8a>4ac.其中正确的有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
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【题目】如图,已知等腰三角形ABC中,AB=AC,点D、E分别在边AB、AC上,且AD=AE,连接BE、CD,交于点F.
(1)判断∠ABE与∠ACD的数量关系,并说明理由;
(2)求证:过点A、F的直线垂直平分线段BC.
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【题目】(4分)如图,抛物线的对称轴是.且过点(,0),有下列结论:①abc>0;②a﹣2b+4c=0;③25a﹣10b+4c=0;④3b+2c>0;⑤a﹣b≥m(am﹣b);其中所有正确的结论是 .(填写正确结论的序号)
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【题目】阅读材料:
小明在学习二次根式的化简后,遇到了这样一个需要化简的式子:.该如何化简呢?思考后,他发现3+2=1+2+()2=(1+)2.于是==1+.善于思考的小明继续深入探索;当a+b=(m+n)2时(其中a,b,m,n均为正整数),则a+b=m2+2mn+2n2.此时,a=m2+2n2,b=2mn,于是,=m+n.请你仿照小明的方法探索并解决下列问题:
(1)设a,b,m,n均为正整数且=m+n,用含m,n的式子分别表示a,b时,结果是a= ,b= ;
(2)利用(1)中的结论,选择一组正整数填空:= + ;
(3)化简:.
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