Question

如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为A，与x轴交于O，B两点，点P（m，0）是线段OB上一动点，过点P作y轴的平行线，交直线y=于点E，交抛物线于点F，以EF为一边，在EF的左侧作矩形EFGH．若FG=，则当矩形EFGH与△OAB重叠部分为轴对称图形时，m的取值范围为________．

Answer 1

m=-1或-6或-或-＜m≤-
分析：把抛物线整理成顶点式形式并求出顶点A的坐标，令y=0，解方程求出点B的坐标，利用待定系数法求出直线AB的解析式，然后判断出△AOB是等腰直角三角形，再分①矩形EFGH为正方形时，根据抛物线和直线解析式表示出EF，再根据EF=FG列出方程求解即可；②矩形EFGH关于抛物线对称轴对称时，根据轴对称的性质，对称轴向有FG即为点P的横坐标；③点H在AB上时，设直线y=-x与直线AB相交于点C，联立两直线解析式求出点C的坐标，然后求出点H在直线AB上时，求出△CHE和△CBO相似，利用相似三角形对应边成比例求出，然后求出，过点C作CD⊥x轴于D，求出△OEP和△OCD相似，利用相似三角形对应边成比例列式求出PE，从而得到点E的纵坐标，再代入直线解析式求出点E的横坐标，即为点P的横坐标，从此位置到点E与点C重合，重叠部分为等腰直角三角形，是轴对称图形．
解答：∵y=-x²-2x=-（x+4）²+4，
∴顶点A的坐标为（-4，4），
令y=0，则-x²-2x=0，
整理得，x²+8x=0，
解得x₁=0，x₂=-8，
∴点B的坐标为（-8，0），
设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0），
则，
解得，
∴直线AB的解析式为y=x+8，
∴∠ABO=45°，
由抛物线的对称性得，△AOB是等腰直角三角形，
①矩形EFGH为正方形时，EF=FG，
∴（-m²-2m）-（-m）=，
整理得，m²+7m+6=0，
解得m₁=-1，m₂=-6；
②矩形EFGH关于抛物线对称轴对称时，
点P的横坐标m=-4+FG=-4+×=-4+=-；
③如图，点H在AB上时，设直线y=-x与直线AB相交于点C，
联立解得，
∴点C的坐标为（-，），
∵PE∥y轴，四边形EFGH为矩形，
∴EH∥x轴，
∴△CHE∽△CBO，
∴===，
∴=，
过点C作CD⊥x轴于D，则CD∥PE，
∴△OEP∽△OCD，
∴=，
即=，
解得PE=，
∴点E的纵坐标为，
代入y=-x得，-x=，
解得x=-，
∴点P的横坐标m=-，
∴从此位置到点E与点C重合，重叠部分为等腰直角三角形，
∴-＜m≤-；
综上所述，矩形EFGH与△OAB重叠部分为轴对称图形时，m的取值范围是：m=-1或-6或-或-＜m≤-．
故答案为：m=-1或-6或-或-＜m≤-．
点评：本题是二次函数综合题型，主要利用了待定系数法求一次函数解析式，矩形的性质，轴对称的性质，等腰直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，难点在于要根据矩形EFGH的位置分情况讨论．