Question

已知关于x的一元二次方程（a-1）x²+2x-a-1=0．
（1）当方程有两个不相等的实数根时，求a的取值范围；
（2）如果原方程有两个不相等的整数根x₁，x₂（x₁＜x₂），且|x₁+x₂|＞1，求a的正整数值．

Answer 1

分析：（1）根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到a-1≠0且△=4-4（a-1）（-a-1）＞0，然后解两个不等式得到a≠1且a≠0；
（2）根据根与系数的关系得到x₁+x₂=-

2

a-1

，而|x₁+x₂|＞1，分类讨论：当x₁+x₂＞1，则-

2

a-1

＞1；当x₁+x₂＜-1，则-

2

a-1

＜-1，然后可解得满足条件的正整数只有a=2．

解答：解：（1）根据题意得a-1≠0且△=4-4（a-1）（-a-1）＞0，
解得a≠1且a≠0，
即a的取值范围为a≠1且a≠0；
（2）根据题意得根x₁+x₂=-

2

a-1

，
∵|x₁+x₂|＞1，
当x₁+x₂＞1，则-

2

a-1

＞1，

2

a-1

＜-1，没有满足条件的正整数a；
当x₁+x₂＜-1，则-

2

a-1

＜-1，

2

a-1

＞1，满足条件的正整数a=2，
∴a的正整数值为2．

点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义以及根与系数的关系．