Question

17．如图，AB为⊙O的直径，CB、CD分别与⊙O相切于B、D，延长BA、CD交于E，连接AD，DE=4，BE=8．
（1）求BC的长；
（2）求AD的长．

Answer 1

分析 （1）连接OD，根据切线长定理可得CB=CD，根据切线的性质可得∠ABC=∠ODE=90°，设BC=x，只需在Rt△EBC中运用勾股定理就可解决问题；
（2）设⊙O的半径为r，则OB=r，OE=8-r，在Rt△ODE中运用勾股定理可求出r，然后运用面积法可求出DH，然后运用勾股定理就可解决问题．

解答 解：（1）连接OD，
∵CB、CD分别与⊙O相切于B、D，
∴CB=CD，∠ABC=∠ODE=90°，
设BC=x，则DC=x，EC=x+4．
在Rt△EBC中，根据勾股定理可得
8²+x²=（x+4）²，
解得：x=6，
∴BC的长为6；

（2）过点D作DH⊥AB于H，如图，
设⊙O的半径为r，则OB=r，OE=8-r．
在Rt△ODE中，根据勾股定理可得
r²+4²=（8-r）²，
解得r=3．
∵S_△ODE=$\frac{1}{2}$OD•DE=$\frac{1}{2}$OE•DH，
∴DH=$\frac{OD•DE}{OE}$=$\frac{3×4}{5}$=$\frac{12}{5}$，
∴OH=$\sqrt{O{D}^{2}-D{H}^{2}}$=$\frac{9}{5}$，AH=3-$\frac{9}{5}$=$\frac{6}{5}$，
∴AD=$\sqrt{A{H}^{2}+D{H}^{2}}$=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题主要考查了切线长定理、切线的性质、勾股定理等知识，运用勾股定理是解决本题的关键．