Question

    如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数 (为常数)的图象与x轴交于点A(，0)，与y轴交于点C．以直线x=1为对称轴的抛物线  ( 为常数，且≠0)经过A，C两点，并与x轴的正半轴交于点B．

   （1）求的值及抛物线的函数表达式；

   （2）设E是y轴右侧抛物线上一点，过点E作直线AC的平行线交x轴于点F．是否存在这样的点E，使得以A，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点E的坐标及相应的平行四边形的面积；若不存在，请说明理由；

  （3）若P是抛物线对称轴上使△ACP的周长取得最小值的点，过点P任意作一条与y轴不平行的直线交抛物线于 ，两点，试探究 是否为定值，并写出探究过程．

Answer 1

考点：二次函数综合题。

解答：解：（1）∵经过点（﹣3，0），

∴0=+m，解得m=，

∴直线解析式为，C（0，）．

∵抛物线y=ax²+bx+c对称轴为x=1，且与x轴交于A（﹣3，0），∴另一交点为B（5，0），

设抛物线解析式为y=a（x+3）（x﹣5），

∵抛物线经过C（0，），

∴=a•3（﹣5），解得a=，

∴抛物线解析式为y=x²+x+；

（2）假设存在点E使得以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形，

则AC∥EF且AC=EF．如答图1，

（i）当点E在点E位置时，过点E作EG⊥x轴于点G，

∵AC∥EF，∴∠CAO=∠EFG，

又∵，∴△CAO≌△EFG，

∴EG=CO=，即y_E=，

∴=x_E²+x_E+，解得x_E=2（x_E=0与C点重合，舍去），

∴E（2，），S_▱ACEF=；

（ii）当点E在点E′位置时，过点E′作E′G′⊥x轴于点G′，

同理可求得E′（+1，），S_{▱ACE′F′}=．

（3）要使△ACP的周长最小，只需AP+CP最小即可．

如答图2，连接BC交x=1于P点，因为点A、B关于x=1对称，根据轴对称性质以及两点之间线段最短，可知此时AP+CP最小（AP+CP最小值为线段BC的长度）．

∵B（5，0），C（0，），∴直线BC解析式为y=x+，

∵x_P=1，∴y_P=3，即P（1，3）．

令经过点P（1，3）的直线为y=kx+3﹣k，

∵y=kx+3﹣k，y=x²+x+，

联立化简得：x²+（4k﹣2）x﹣4k﹣3=0，

∴x₁+x₂=2﹣4k，x₁x₂=﹣4k﹣3．

∵y₁=kx₁+3﹣k，y₂=kx₂+3﹣k，∴y₁﹣y₂=k（x₁﹣x₂）．

根据两点间距离公式得到：

M₁M₂===

∴M₁M₂===4（1+k²）．

又M₁P===；

同理M₂P=

∴M₁P•M₂P=（1+k²）•=（1+k²）•=（1+k²）•=4（1+k²）．

∴M₁P•M₂P=M₁M₂，

∴=1为定值．