Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，⊙C的半径为r（r＞1），P是圆内与圆心C不重合的点，⊙C的“完美点”的定义如下：若直线CP与⊙C交于点A，B，满足|PA﹣PB|=2，则称点P为⊙C的“完美点”，如图为⊙C及其“完美点”P的示意图．

（1）当⊙O的半径为2时，
①点M（ ，0）⊙O的“完美点”，点N（0，1）⊙O的“完美点”，点T（﹣ ，﹣ ）⊙O的“完美点”（填“是”或者“不是”）；
②若⊙O的“完美点”P在直线y= x上，求PO的长及点P的坐标；
（2）⊙C的圆心在直线y= x+1上，半径为2，若y轴上存在⊙C的“完美点”，求圆心C的纵坐标t的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）不是；是；是；解：根据题意,,PA﹣PB,=2,∴,OP+2﹣（2﹣OP）,=2,∴OP=1．若点P在第一象限内,作PQ⊥x轴于点Q,如图1中,∵点P在直线y= x上,OP=1,∴OQ= ,PQ= ．∴P（ , ）．若点P在第三象限内,根据对称性可知其坐标为（﹣ ,﹣ ）．综上所述,PO的长为1,点P的坐标为（ , ）或（﹣ ,﹣ ）
（2）解：对于⊙C的任意一个“完美点”P都有|PA﹣PB|=2，

∴|CP+2﹣（2﹣CP）|=2．

∴CP=1．

∴对于任意的点P，满足CP=1，都有|CP+2﹣（2﹣CP）|=2，

∴|PA﹣PB|=2，故此时点P为⊙C的“完美点”．因此，⊙C的“完美点”是以点C为圆心，1为半径的圆．

如图2中，设直线y= x+1与y轴交于点D，当⊙C移动到与y轴相切且切点在点D的下方时，t的值最小．

设切点为E，连接CE，

∵⊙C的圆心在直线y= x+1上，

∴此直线和x轴，y轴的交点C（0，1），F（﹣ ，0），

∴OF= ，OD=1，

∵CE∥OF，

∴△DOF∽△DEC，

∴ = ，

∴ = ，

∴DE= ，t的最小值为1﹣ ．

当⊙C移动到与y轴相切且切点在点D的上方时，t的值最大．

同理可得t的最大值为1+ ．

综上所述，t的取值范围为1﹣ ≤t≤1+

【解析】解：（1）点M不是⊙O的“完美点”，

点N是⊙O的“完美点”，

点T是⊙O的“完美点”．

所以答案是不是，是，是．