【题目】如图,在△ABC和△ADE中,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,且点B,A,D在同一条直线上,M,N分别为BE,CD的中点.
(1)求证:△ABE≌ACD;
(2)判断△AMN的形状,并说明理由.
【答案】(1)证明见解析(2)△AMN为等腰三角形;理由见解析
【解析】
(1)由∠BAC=∠DAE,等式左右两边都加上∠CAE,得到一对角相等,再由AB=AC,AD=AE,利用SAS可得出三角形ABE与三角形ACD全等;
(2)由M与N分别为BE,CD的中点,且BE=CD,可得出ME=ND,由△ABE与△ACD全等,对应角∠AEB=∠ADC,利用SAS可得出△AME与△AND全等,利用全等三角形的对应边相等可得出AM=AN,即△AMN为等腰三角形.
(1)∵∠BAC=∠DAE,
∴∠BAC+∠CAE=∠DAE+∠CAE,即∠BAE=∠CAD,
在△ABE和△ACD中,
,
∴△ABE≌△ACD(SAS);
(2)∵△ABE≌△ACD
∴BE=CD,∠AEM=∠ADC,
∵M、N分别为BE、CD的中点,
∴ME=ND,
在△AEM和△ADN中,,
∴△AEM≌△ADN(SAS),
∴AM=AN,
即△AMN为等腰三角形.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,⊙C的半径为r(r>1),P是圆内与圆心C不重合的点,⊙C的“完美点”的定义如下:若直线CP与⊙C交于点A,B,满足|PA﹣PB|=2,则称点P为⊙C的“完美点”,如图为⊙C及其“完美点”P的示意图.
(1)当⊙O的半径为2时,
①点M( ,0)⊙O的“完美点”,点N(0,1)⊙O的“完美点”,点T(﹣ ,﹣ )⊙O的“完美点”(填“是”或者“不是”);
②若⊙O的“完美点”P在直线y= x上,求PO的长及点P的坐标;
(2)⊙C的圆心在直线y= x+1上,半径为2,若y轴上存在⊙C的“完美点”,求圆心C的纵坐标t的取值范围.
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【题目】在平面直角坐标系中,点A、B、C、D是坐标轴上的点且点C坐标是(0,﹣1),AB=5,点(a,b)在如图所示的阴影部分内部(不包括边界),已知OA=OD=4,则a的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
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【题目】小明家饮水机中原有水的温度为20℃,通电开机后,饮水机自动开始加热[此过程中水温y(℃)与开机时间x(分)满足一次函数关系],当加热到100℃时自动停止加热,随后水温开始下降[此过程中水温y(℃)与开机时间x(分)成反比例关系],当水温降至20℃时,饮水机又自动开始加热…,重复上述程序(如图所示),根据图中提供的信息,解答下列问题:
(1)当0≤x≤8时,求水温y(℃)与开机时间x(分)的函数关系式;
(2)求图中t的值;
(3)若小明在通电开机后即外出散步,请你预测小明散步45分钟回到家时,饮水机内的温度约为多少℃?
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【题目】决心试一试,请阅读下列材料:计算:
解法一:原式=
=
=
解法二:原式=
=
=
=
解法三:原式的倒数为:
=
=﹣20+3﹣5+12
=﹣10
故原式 =
上述得出的结果不同,肯定有错误的解法,你认为解法 是错误的,在正确的解法中,你认为解法 最简捷.然后请解答下列问题,计算:.
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【题目】如图,在△ABC中,AB=AC=10cm,BD⊥AC于点D,BD=8cm.点M从点A出发,沿AC的方向匀速运动,同时直线PQ由点B出发,沿BA的方向匀速运动,运动过程中始终保持PQ∥AC,直线PQ交AB于点P、交BC于点Q、交BD于点F.连接PM,设运动时间为t秒(0<t≤5).线段CM的长度记作y甲 , 线段BP的长度记作y乙 , y甲和y乙关于时间t的函数变化情况如图所示.
(1)由图2可知,点M的运动速度是每秒cm,当t为何值时,四边形PQCM是平行四边形?在图2中反映这一情况的点是;
(2)设四边形PQCM的面积为ycm2 , 求y与t之间的函数关系式;
(3)是否存在某一时刻t,使S四边形PQCM= S△ABC?若存在,求出t的值;若不存在,说明理由;
(4)连接PC,是否存在某一时刻t,使点M在线段PC的垂直平分线上?若存在,求出此时t的值;若不存在,说明理由.
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【题目】如图,△ABC中,D,E分别是AC,AB上的点,BD与CE交于点O.给出下列三个条件:①∠EBO=∠DCO;②∠BEO=∠CDO;③BE=CD.上述三个条件中,哪两个条件可判定△ABC是等腰三角形(用序号写出一种情形):_______.
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