【题目】如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,AB是⊙O的直径,⊙O交BC于点D,DE⊥AC于点E,BE交⊙O于点F,连接AF,AF的延长线交DE于点P.
(1)求证:DE是⊙O的切线;
(2)求tan∠ABE的值;
(3)若OA=2,求线段AP的长.
【答案】
(1)证明:连接AD、OD,如图,
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ADB=90°,
∵AB=AC,
∴AD垂直平分BC,即DC=DB,
∴OD为△BAC的中位线,
∴OD∥AC,
而DE⊥AC,
∴OD⊥DE,
∴DE是⊙O的切线;
(2)解:∵OD⊥DE,DE⊥AC,
∴四边形OAED为矩形,
而OD=OA,
∴四边形OAED为正方形,
∴AE=AO,
∴tan∠ABE= = ;
(3)解:∵AB是⊙O的直径,
∴∠AFB=90°,
∴∠ABF+∠FAB=90°,
而∠EAP+∠FAB=90°,
∴∠EAP=∠ABF,
∴tan∠EAP=tan∠ABE= ,
在Rt△EAP中,AE=2,
∵tan∠EAP= = ,
∴EP=1,
∴AP= = .
【解析】(1)连接AD、OD,根据圆周角定理得∠ADB=90°,由AB=AC,根据等腰三角形的直线得DC=DB,所以OD为△BAC的中位线,则OD∥AC,然后利用DE⊥AC得到OD⊥DE,这样根据切线的判定定理即可得到结论;(2)易得四边形OAED为正方形,然后根据正切的定义计算tan∠ABE的值;(3)由AB是⊙O的直径得∠AFB=90°,再根据等角的余角相等得∠EAP=∠ABF,则tan∠EAP=tan∠ABE= ,在Rt△EAP中,利用正切的定义可计算出EP,然后利用勾股定理可计算出AP.
【考点精析】根据题目的已知条件,利用圆周角定理和切线的判定定理的相关知识可以得到问题的答案,需要掌握顶点在圆心上的角叫做圆心角;顶点在圆周上,且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角;一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半;切线的判定方法:经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】某同学做一道数学题,已知两个多项式A、B,B=3x2y-5xy+x+7,试求A+B,这位同学把A+B看成A-B,结果求出的答案为6x2y+12xy-2x-9.
(1)请你替这位同学求出的正确答案;
(2)当x取任意数值,A-3B的值是一个定值,求y的值.
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】台风是一种自然灾害,它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴,有极强的破坏力,如图,据气象观测,距沿海某城市A的正南方向220千米B处有一台风中心,其中心最大风力为12级,每远离台风中心20千米,风力就会减弱一级,该台风中心现正以15千米/时的速度沿北偏东30方向往C移动,且台风中心风力不变,若城市所受风力达到或走过四级,则称为受台风影响.
(1)该城市是否会受到这交台风的影响?请说明理由.
(2)若会受到台风影响,那么台风影响该城市持续时间有多少?
(3)该城市受到台风影响的最大风力为几级?
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【题目】在一条笔直的公路上有A、B两地,甲骑自行车从A地到B地;乙骑自行车从B地到A地,到达A地后立即按原路返回,如图是甲、乙两人离B地的距离y(km)与行驶时x(h)之间的函数图象,根据图象解答以下问题:
(1)写出A、B两地之间的距离;
(2)求出点M的坐标,并解释该点坐标所表示的实际意义;
(3)若两人之间保持的距离不超过3km时,能够用无线对讲机保持联系,请直接写出甲、乙两人能够用无线对讲机保持联系时x的取值范围.
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【题目】韦玲和覃静两人玩“剪刀、石头、布”的游戏,游戏规则为:剪刀胜布,布胜石头,石头胜剪刀.
(1)请用列表法或树状图表示出所有可能出现的游戏结果;
(2)求韦玲胜出的概率.
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【题目】如图,在平行四边形ABCD中,AB>BC,按以下步骤作图:以A为圆心,小于AD的长为半径画弧,分别交AB、CD于E、F;再分别以E、F为圆心,大于 EF的长半径画弧,两弧交于点G;作射线AG交CD于点H.则下列结论:①AG平分∠DAB,②CH= DH,③△ADH是等腰三角形,④S△ADH= S四边形ABCH .
其中正确的有( )
A.①②③
B.①③④
C.②④
D.①③
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