Question

【题目】如图，直线y=﹣x+3与x轴，y轴分别相交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线y=ax2+bx+c与x轴的另一交点为A，点A在点B的左边，顶点为P，且线段AB的长为2．

（1）求点A的坐标；

（2）求该抛物线的函数表达式；

（3）在抛物线的对称轴上是否存在点G，使|GC﹣GB|最大？若存在，求G点坐标；若不存在说明理由．

（4）连结AC，请问在x轴上是否存在点Q，使得以点P，B，Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）（1，0）；（2）y=x2﹣4x+3；（3）G点坐标为（2，﹣3）；（4）在x轴上存在两点Q1（0，0），Q2（，0）

【解析】

试题分析：（1）求值直线y=﹣x+3与x轴的交点B，然后根据AB的长，即可求得OA的长，则A的坐标即可求得；

（2）利用待定系数法求得二次函数的解析式；

（3）由于A、B两点关于抛物线的对称轴即直线x=2对称，所以G点为直线CA与直线x=2的交点，先运用待定系数法求出直线AC的解析式，再令x=2，求出y的值，进而得出G点坐标；

（4）分成=，∠PBQ=∠ABC=45°和=，∠QBP=∠ABC=45°两种情况求得QB的长，据此即可求解．

解：（1）当y=0时，﹣x+3=0，解得x=3，即B（3，0），

由AB=2，得3﹣2=1，

A的坐标为（1，0）；

（2）根据题意得：，

解得：，

则抛物线的解析式是：y=x2﹣4x+3；

（3）延长CA，交对称轴于点G，连接GB，则|GC﹣GB|=GC﹣GA=AC最大．

∵抛物线y=x2﹣4x+3与x轴交于点A、点B（3，0），且对称轴为直线x=2，

∴点A的坐标为（1，0）．

设直线AC的解析式为y=kx+m，

∵A（1，0），C（0，3），

∴，

解得，

∴y=﹣3x+3，

当x=2时，y=﹣3×2+3=﹣3，

∴G点坐标为（2，﹣3）；

（4）①当=，∠PBQ=∠ABC=45°时，△PBQ∽△ABC．

即=

∴BQ=3，

又∵BO=3，

∴点Q与点O重合，

∴Q1的坐标是（0，0）．

②当=，∠QBP=∠ABC=45°时，△QBP∽△ABC．

即=，

QB=．

∵OB=3，

∴OQ=OB﹣QB=3﹣=

∴Q2的坐标是（，0）．

∵∠PBx=180°﹣45°=135°，∠BAC＜135°，

∴∠PBx≠∠BAC．

∴点Q不可能在B点右侧的x轴上

综上所述，在x轴上存在两点Q1（0，0），Q2（，0）