Question

如图，抛物线y=x²-px-q与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，已知∠ACB=Rt∠，∠CAO=α，∠CBO=β，tanα-tanβ=4．
（1）求抛物线的解析式，并用配方法求顶点坐标、对称轴方程；
（2）平行于x轴的一条直线交抛物线于M、N两点，若以MN为直径的圆正好与x轴相切，求此圆的半径．

Answer 1

解：（1）设A点的坐标为（x₁，0），B点的坐标为（x₂，0）；则有：
x₁+x₂=p，x₁•x₂=-q；OA=-x₁，OB=x₂；OA•OB=-q．
∵tanα-tanβ=-====4
∴p=4
∵∠ACB=90°，且OC⊥AB
根据射影定理可得：OC²=OA•OB，q²=-x₁•x₂=q
解得q=1，q=0（不合题意舍去）．
因此抛物线的解析式为y=x²-4x-1=（x-2）²-5．
因此抛物线的对称轴为x=2，顶点坐标为（2，-5）．

（2）由于MN与x轴平行，且以MN为直径的圆与x轴相切，
因此M、N关于抛物线的对称轴对称，
设圆的半径为r（r＞0）．
可设M点的坐标为（2+r，-r）或（2+r，r）
当M在x轴上方时，r=（2+r）²-4（2+r）-1
解得r=（因为半径为正值，故舍去负值）
当M在x轴下方时，-r=（2+r）²-4（2+r）-1
解得r=（因为半径为正值，故将负数舍去）
∴此圆的半径为．
分析：（1）本题要先设出A、B的坐标，然后根据tanα-tanβ=4及射影定理得出的OC²=OA•OB以韦达定理为基础来求出p，q值．即可确定出抛物线的解析式，然后根据解析式即可得出抛物线的对称轴和顶点坐标．
（2）已知了MN与x轴平行，且以MN为直径的圆与x轴相切，那么M点的横坐标为2+r，N点的横坐标为2-r，M点的纵坐标为r或-r（要分M在x轴的上、下方两种情况进行讨论），那么M点的坐标就应该是（2+r，r）或（2+r，-r）．将其代入抛物线的解析式中即可得出r的值．
点评：本题是集方程，函数，圆，三角于一体的综合题，主要考查学生分析问题、解决问题的能力．