Question

3．如图，MN∥PQ，∠NAB和∠QBA的平分线相交于点C，点E是直线MN上一个可移动点（不与点A重合），射线EC与PQ相交于点F．
（1）∠ACB=90°，证明：AE+AB=BF；
（2）当点E移动到点A的右侧时，上述结论是怎样的？画出图形，直接写出．

Answer 1

分析 （1）作辅助线，构建全等三角形，先根据平行线的性质和角平分线得出：∠BAC+∠ABC=90°，再根据等角对等边得AB=AD，利用三线合一得AC=CD，从而证明△AEC≌△DFC，得AE=DF，代入可得结论；
（2）结论不成立，有新的结论存在：AB=BF+AE，同理得：AB=BD，△ACE≌△DCF，有BD=BF+DF，
等量代换可得：AB=BF+AE．

解答 （1）证明：如图1，∵MN∥PQ，
∴∠NAB+∠ABF=180°，
∵∠NAB和∠QBA的平分线相交于点C，
∴∠BAC=$\frac{1}{2}$∠NAB，∠ABC=$\frac{1}{2}$∠ABF，
∴∠BAC+∠ABC=$\frac{1}{2}$（∠NAB+∠ABF）=$\frac{1}{2}$×180°=90°，
延长AC交PQ于D，
∵MN∥PQ，
∴∠NAD=∠ADB，
∵∠NAD=∠BAC，
∴∠BAC=∠ADB，
∴AB=AD，
∴AC=CD，
∵∠ACE=∠DCF，∠EAC=∠FDC，
∴△AEC≌△DFC，
∴AE=DF，
∴BF=BD+DF=AB+AE；
故答案为：90；
（2）如图2，有AB=BF+AE，理由是：
延长AC交PQ于D，
由（1）得：AB=BD，
∴AC=CD，
∵∠EAC=∠ADF，∠ACE=∠DCF，
∴△ACE≌△DCF，
∴AE=DF，
∵BD=BF+DF，
∴AB=BF+AE．

点评 本题考查了全等三角形的性质和判定，以及角平分线、平行线的性质；明确两直线平行，同旁内角互补，注意角平分线平分角时有三种表达方式，在证明中恰当地写出适合本题的一种：∠BAC=$\frac{1}{2}$∠NAB，恰当地构建辅助线也是本题的关键；两个问题中的结论虽然不同，但证明思路一致：①先由平行和角平分线定义得直角△ACB，②证明等腰△ABD，利用三线合一得AC=CD，③证明三角形全等．