Question

在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，E为AB上一点，且DE平分∠ADC，CE平分∠BCD，则下列结论中：①DE⊥EC，②AD•BC=BE•DE，③CE²=BC•CD，④AE²=AD•BC，⑤AD+BC=DC；正确的有

1. A.
   2个
2. B.
   3个
3. C.
   4个
4. D.
   5个

Answer 1

B
分析：①运用角平分线的性质及平行线的性质，易得到∠ADC+∠BCD=90°．再通过三角形的内角和为180°，求得∠CED=90°，问题得证．
②首先假设AD•BC=BE•DE成立．利用直角三角形中一条直角边所对的角对应相等，证得△BCE∽△AED，再运用相似三角形的性质证得AD•CE=BE•DE．从而得到BC=CE．与直角三角形的斜边大于一条直角边矛盾．
③在△BCE与△ECD中，利用相似三角形的判定与性质，证得CE²=BC•CD．
④利用相似三角形的性质证得AE≠BE，使问题得证．
⑤过E作EF⊥CD与点F．通过角边角定理证得Rt△BCE≌Rt△FCE，Rt△AED≌Rt△FED．再利用全等三角形的性质证得BC=FC，AD=FD．问题得解．
解答：解：①∵DE平分∠ADC，CE平分∠BCD
∴∠ADE=∠CDE=∠ADC，∠BCE=∠DCE=∠BCD，
∵AD∥BC，
∴∠ADC+∠BCD=180°，
∴∠ADE+∠BCE=（∠ADC+∠BCD）=×180°=90°，
在△CDE中，∠CED=180°-（∠ADC+∠BCD）=90°
∴DE⊥EC；
故该项成立．
②假设AD•BC=BE•DE成立．
由①知，∠CED=90°
∴∠AED+∠BEC=180°-∠CED=180°-90°=90°，
在Rt△BCE中，∠BCE+∠BEC=90°，
∴∠AED=∠BCE
∵AD∥BC，∠B=90°，
∴∠A=90°，
∴△BCE∽△AED，
∴，即AD•CE=BE•DE，
∴BC=CE，
∵直角三角形的斜边＞它的直角边
∴AD•BC=BE•DE不成立．
故该项不成立．
③∵CE平分∠BCD，
∴∠BCE=∠ECD，
由①知，∠CED=90°=∠B，
∴△BCE∽△ECD，
∴，即CE²=BC•CD，
故该项成立．
④由②知，△BCE∽△AED，
∴，即AE•BE=AD•BC，
显然AE≠BE，
故该选项不成立．
⑤过E作EF⊥CD与点F，
∵DE平分∠ADC，CE平分∠BCD
∴∠ADE=∠CDE，∠BCE=∠DCE，
∴Rt△BCE≌Rt△FCE，Rt△AED≌Rt△FED，
∴BC=FC，AD=FD，
又∵CF+FD=BC，
∴AD+BC=DC，
故该选项正确．
综上所述，正确的有①③⑤三个．
故选B．
点评：本题考查相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的判定与性质．解决本题的关键是熟练掌握三角形全等、相似的三角形判定定理、性质定理，做到灵活运用．