Question

阅读材料：如果方程x²+px+q=0的两个根是x₁，x₂，那么x₁+x₂=-p； x₁x₂=q，请根据以上结论，解决下列问题：
（1）已知x₁，x₂是方程x-4x+2=0的两根，求：
  ①x₁²+x₂²的值；②

1

x1

+

1

x2

的值．
（2）已知a，b满足a²-15a-5=0，b²-15b-5=0，求

a

b

+

b

a

的值．

Answer 1

考点：根与系数的关系

专题：阅读型

分析：（1）根据x₁，x₂是方程x-4x+2=0的两根，得出x₁+x₂=4； x₁x₂=2，再把x₁²+x₂²变形为（x₁+x₂）²-2x₁x₂，把

1

x1

+

1

x2

变形为

x1+x2

x1x2

，然后代入计算即可；
（2）根据a，b满足a²-15a-5=0，b²-15b-5=0，得出a，b是x²-15x-5=0的根，分①当a≠b时；②当a=b时；求出a+b与ab的值，再把要求的式子

a

b

+

b

a

进行变形，然后代入计算即可．

解答：解：（1）∵x₁，x₂是方程x-4x+2=0的两根，
∴x₁+x₂=4； x₁x₂=2，
∴①x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=4²-2×2=12；
②

1

x1

+

1

x2

=

x1+x2

x1x2

=

4

2

=2；

（2）∵a，b满足a²-15a-5=0，b²-15b-5=0，
∴a，b是x²-15x-5=0的根，
∴①当a≠b时，a+b=15，ab=-5，
∴

a

b

+

b

a

=

a2+b2

ab

=

(a+b)2-2ab

ab

=

152-2×(-5)

-5

=-47；
②当a=b时，原式=2．

点评：此题考查了根与系数的关系，关键是熟知一元二次方程根与系数的关系：x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

．