Question

8．问题探究（前两小问均不要求说明理由）
（1）如图①，试在线段BC上画出点E使得AE+DE的值最小；
（2）如图②，∠B=30°，点D在射线BC上，且BD=10，E、F分别为射线BA、BC上的两个动点，试求DE+EF的最小值．
问题解决：
（3）如图③，C、A、B三个城市由三条主道路AC、AB、BC连接，已知AC=6$\sqrt{2}$，∠A=45°，AB=10．为缓解因汽车数量“井喷式”增长而导致的交通拥堵，增加人们出行的幸福指数，省规划厅计划分别在线段BC、AB、AC上选取D、E、F处开口修建便捷通道，请说明如何选取D、E、F使得DE+EF+FD最小．并求出该最小值．

Answer 1

分析 （1）根据轴对称的性质即可作出使得AE+DE的值最小的点E；
（2）作点D关于AB的对称点G，连接DG交AB于H，过G作GF⊥BC于F交AB于E，则GF=DE+EF的最小值，根据直角三角形的性质得到DH=$\frac{1}{2}$BD=5，求得DG=2DH=10，解直角三角形得到GF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$DG=5$\sqrt{3}$，于是得到结论；
（3）根据轴对称的性质和两点之间线段最短的性质计算即可．

解答 解：（1）如图①，作点A关于直线BC的对称点F，连接DF交BC于E，则此时AE+DE的值最小；

（2）如图②，作点D关于AB的对称点G，连接DG交AB于H，过G作GF⊥BC于F交AB于E，
则GF=DE+EF的最小值，
∵DG⊥AB，BD=10，∠B=30°，
∴DH=$\frac{1}{2}$BD=5，
∴DG=2DH=10，
∵GF⊥BC，∠GDF=∠BDH，
∴∠G=∠B=30°，
∴GF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$DG=5$\sqrt{3}$，
∴DE+EF的最小值=5$\sqrt{3}$．

（3）如图③，作出△ABC关于AC对称的△ACG，△ABC关于AB对称的△ABH，
则点D关于AC的对称点为S，关于AB的对称点为W，
当S，F，E，W在同一直线上，且点S与点D重合在点C，
点W在点H时，DE+DF+EF有最小值，
∵AC⊥CH，且平分CH，
∴CP²=AC²-AP²=BC²-BP²，
∵∠BAC=45°，
∴∠CAH=90°，
∵AC=AH，
∴CH=$\sqrt{2}$AC=12
故DE+DF+EF的最小值是12．

点评 本题考查了本题考查了轴对称-最短路线问题，解题的关键是正确的作出对称点，熟练掌握轴对称图形的性质和两点之间线段最短的性质是解题的关键．