Question

已知：如图，△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，BE与CD相交于点F．
求证：BF=AC．

Answer 1

证明：∵CD⊥AB，
∴∠BDC=∠CDA=90°；
∵∠ABC=45°，
∴∠DCB=∠ABC=45°（三角形的内角和定理），
∴DB=DC（等角对等边）；
∵BE⊥AC，
∴∠AEB=90°，
∴∠A+∠ABE=90°（直角三角形的两个锐角互为余角）；
∵∠CDA=90°，
∴∠A+∠ACD=90°，
∴∠ABE=∠ACD（同角的余角相等）；
在△BDF和△CDA中，
，
∴△BDF≌△CDA（ASA），
∴BF=AC（全等三角形的对应边相等）．
分析：由已知条件“∠ABC=45°，CD⊥AB”可推知△BCD是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质知：∠DCB=∠ABC
=45°、DB=DC；然后由已知条件“BE⊥AC”求证∠ABE=∠ACD；再利用AAS判定Rt△DFB≌Rt△DAC，从而得出BF=AC．
点评：本题考查三角形全等的判定与性质．判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL．在复杂的图形中有45°的角，有垂直，往往要用到等腰直角三角形，要注意掌握并应用此点．