【题目】如图,已知抛物线y=m(x+1)(x﹣2)(m为常数,且m>0)与x轴从左至右依次交于A、B两点,与y轴交于点C,且OA=OC,经过点B的直线与抛物线的另一交点D在第二象限.
(1)求抛物线的函数表达式.
(2)若∠DBA=30°,设F为线段BD上一点(不含端点),连接AF,一动点M从点A出发,沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F,再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止,当点F的坐标是多少时,点M在整个运动过程中用时最少?
【答案】
(1)
解:抛物线y=m(x+1)(x﹣2)(m为常数,且m>0)与x轴从左至右依次交于A、B两点,
令y=0,解得x=﹣1或x=2,
则A(﹣1,0),B(2,0),
∵OA=OC,
∴C(0,﹣1),
∵点C(0,﹣1)在抛物线y=m(x+1)(x﹣2)上,
∴m×(0+1)×(0﹣2)=﹣1,
解得m= .
∴抛物线的函数表达式为:y= (x+1)(x﹣2)
(2)
解:∵∠DBA=30°,
∴设直线BD的解析式为y=﹣ x+b,
∵B(2,0),
∴0=﹣ ×2+b,解得b= ,
故直线BD的解析式为y=﹣ x+ ,
联立两解析式可得 ,
解得 , .
则D(﹣ , ),
如图,过点D作DN⊥x轴于点N,过点D作DK∥x轴,
则∠KDF=∠DBA=30°.
过点F作FG⊥DK于点G,则FG= DF.
由题意,动点M运动的路径为折线AF+DF,运动时间:t=AF+ DF,
∴t=AF+FG,即运动的时间值等于折线AF+FG的长度值.
由垂线段最短可知,折线AF+FG的长度的最小值为DK与x轴之间的垂线段.
过点A作AH⊥DK于点H,则t最小=AH,AH与直线BD的交点,即为所求的F点.
∵A点横坐标为﹣1,直线BD解析式为:y=﹣ x+ ,
∴y=﹣ ×(﹣1)+ = ,
∴F(﹣1, ).
综上所述,当点F坐标为(﹣1, )时,点M在整个运动过程中用时最少
【解析】(1)首先求出点A、B坐标,然后根据OA=OC,求得点D坐标,代入抛物线y=m(x+1)(x﹣2)(m为常数,且m>0),求得抛物线解析式;(2)由题意,动点M运动的路径为折线AF+DF,运动时间:t=AF+ DF.如答图3,作辅助线,将AF+ DF转化为AF+FG;再由垂线段最短,得到垂线段AH与直线BD的交点,即为所求的F点.
【考点精析】解答此题的关键在于理解二次函数的图象的相关知识,掌握二次函数图像关键点:1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点,以及对二次函数的性质的理解,了解增减性:当a>0时,对称轴左边,y随x增大而减小;对称轴右边,y随x增大而增大;当a<0时,对称轴左边,y随x增大而增大;对称轴右边,y随x增大而减小.
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【题目】很久很久以前,在古希腊的某个地方发生大旱,地里的庄稼都干死了,人们找不到水喝,于是大家一起到神庙里去向神祈求.神说:“我之所以不给你们降水,是因为你们给我做的正方体祭坛太小,如果你们做一个比它大一倍的祭坛放在我面前,我就会给你们降雨.”大家觉得很好办,于是很快做好了一个新祭坛送到神那里,新祭坛的棱长是原来的2倍.可是神愈发恼怒,他说:“你们竟敢愚弄我.这个祭坛的体积不是原来的2倍,我要进一步惩罚你们!”
如图所示,不妨设原祭坛边长为a,想一想:
(1)做出来的新祭坛是原来体积的多少倍?
(2)要做一个体积是原来祭坛的2倍的新祭坛,它的棱长应该是原来的多少倍?
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【题目】随着人民生活水平的提高,购买老年代步车的人越来越多.这些老年代步车却成为交通安全的一大隐患.针对这种现象,某校数学兴趣小组在《老年代步车现象的调查报告》中就“你认为对老年代步车最有效的管理措施”随机对某社区部分居民进行了问卷调查,其中调查问卷设置以下选项(只选一项): A:加强交通法规学习;
B:实行牌照管理;
C:加大交通违法处罚力度;
D:纳入机动车管理;
E:分时间分路段限行
调查数据的部分统计结果如下表:
管理措施 | 回答人数 | 百分比 |
A | 25 | 5% |
B | 100 | m |
C | 75 | 15% |
D | n | 35% |
E | 125 | 25% |
合计 | a | 100% |
(1)根据上述统计表中的数据可得m= , n= , a=;
(2)在答题卡中,补全条形统计图;
(3)该社区有居民2600人,根据上述调查结果,请你估计选择“D:纳入机动车管理”的居民约有多少人?
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【题目】某种子培育基地用A,B,C,D四种型号的小麦种子共2000粒进行发芽实验,从中选出发芽率高的种子进行推广.通过实验得知,C型号种子的发芽率为95%,根据实验数据绘制了图1和图2两幅尚不完整的统计图.
(1)D型号种子的粒数是粒;
(2)A型号种子的发芽率为;
(3)请你将图2的统计图补充完整;
(4)若将所有已发芽的种子放到一起,从中随机取出一粒,求取到B型号发芽种子的概率.
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【题目】如图,点E是菱形ABCD对角线CA的延长线上任意一点,以线段AE为边作一个菱形AEFG,连接EB,GD.且∠DAB=∠EAG
(1)求证:EB=GD;
(2)若∠DAB=60°,AB=2,AG= ,求GD的长.
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【题目】原创大型文化情感类节目《朗读者》在中央电视台综合频道、综艺频道播出后引起社会各界强烈反响.小明想了解本小区居民对《朗读者》的看法,进行了一次抽样调查 ,把居民对 《朗读者》的看法分为四个层次:A.非常喜欢;B.较喜欢;C.一般;D.不喜欢,并将调查结果绘制了图1和图2两幅不完整的统计图.
请你根据图中提供的信息解答下列问题:
(1)本次调查的居民总人数为人;
(2)将图1和图2补充完整;
(3)图2中“C” 层次所在扇形的圆心角的度数为.
(4)估计该小区4000名居民中对《朗读者》的看法表示喜欢(包括A层次和B层次)的大约有人.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,一次函数y=kx+b的图象与x轴交点为A(-3,0),与y轴交点为B,且与正比例函数的图象的交于点C(m,4).
(1)求m的值及一次函数y=kx+b的表达式;
(2)若点P是y轴上一点,且△BPC的面积为6,请直接写出点P的坐标.
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【题目】如图,直线l分别交x轴、y轴于点A、B,交曲线y= (x>0)于点C,若AB:AC=1:3,且S△AOB= ,则k的值为( )
A.
B.2
C.
D.
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【题目】如图,已知 ,在射线 上取点 ,以 为圆心的圆与 相切;在射线 上取点 ,以 为圆心, 为半径的圆与 相切;在射线 上取点 ,以 为圆心, 为半径的圆与 相切; ;在射线 上取点 ,以 为圆心, 为半径的圆与 相切.若 的半径为 ,则 的半径长是 .
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