Question

【题目】已知∠AOB＝60°，P为它的内部一点，M为射线OA上一点，连接PM，以P为中心，将线段PM顺时针旋转120°，得到线段PN，并且点N恰好落在射线OB上．

（1）依题意补全图1；

（2）证明：点P一定落在∠AOB的平分线上；

（3）连接OP，如果OP＝2，判断OM+ON的值是否变化，若发生变化，请求出值的变化范围，若不变，请求出值．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）OM+ON＝6，值不变．

【解析】

（1）根据要求画出图形即可；

（2）作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．证明△PEM≌△PFN（AAS），推出PE＝PF，理由角平分线的判定定理即可解决问题；

（3）理由全等三角形的性质证明OE＝OF，FN＝EM，求出OE，OF即可解决问题．

解：（1）图形如图所示：

（2）作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．

∵∠PEO＝∠PFO＝90°，∠EOF＝60°，

∴∠EPF＝∠MPN＝120°，

∴∠EPM＝∠FPN，

∵PM＝PN，∠PEM＝∠PFN＝90°，

∴△PEM≌△PFN（AAS），

∴PE＝PF，

∵PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，

∴OP平分∠AB，

∴点P在∠AOB的角平分线上．

（3）结论：OM+ON＝6，值不变．

理由：∵∠PEO＝∠PFO＝90°，OP＝OP，PE＝PF，

∴Rt△OPE≌Rt△OPF（HL），

∴OE＝OF，

∵OP＝，∠POE＝∠POF＝30°，

∴OE＝OF＝OPcos30°＝3，

∵△PEM≌△PFN，

∴ME＝FN，

∴OM+ON＝OE﹣EM+OF+FN＝2OE＝6．