[题目]如图.在平面直角坐标系内.抛物线与x轴交于点A.C(点A在点C的左侧).与y轴交于点B.顶点为D.点Q为线段BC的三等分点(靠近点C).(1)点M为抛物线对称轴上一点.点E为对称轴右侧抛物线上的点且位于第一象限.当的周长最小时.求面积的最大值,(2)在(1)的条件下.当的面积最大时.过点E作轴.垂足为N.将线段CN绕点C顺时针旋转90°得到点N.再将点N向上平移个单位� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

【题目】如图，在平面直角坐标系内，抛物线与x轴交于点A，C（点A在点C的左侧），与y轴交于点B，顶点为D.点Q为线段BC的三等分点（靠近点C）.

（1）点M为抛物线对称轴上一点，点E为对称轴右侧抛物线上的点且位于第一象限，当的周长最小时，求面积的最大值；

（2）在（1）的条件下，当的面积最大时，过点E作轴，垂足为N，将线段CN绕点C顺时针旋转90°得到点N，再将点N向上平移个单位长度.得到点P，点G在抛物线的对称轴上，请问在平面直角坐标系内是否存在一点H，使点D，P，G，H构成菱形.若存在，请直接写出点H的坐标，若不存在，请说明理由.

【答案】（1）；（2），，

【解析】

（1）连接QA交抛物线对称轴于M，此时△MQC周长最小，可求出M（1，），再求出直线CM解析式y=-x+1，设点E（t，-t2+2t+3），根据S△ECM=ES（C横坐标-M横坐标）可得出S△ECM=-（t-）2+，即S△CME最大值=；

（2）根据题意可求得P（3，2），利用两点间距离公式或勾股定理得DP=2，由菱形性质得PH∥DG∥y轴，PH=DP=2，分两种情况：①点H在点P上方；②点H在点P下方．

（1）令y=0，得-x2+2x+3=0，解得x1=-1，x2=3，

∴A（-1，0），C（3，0），

令x=0，得y=3，

∴B（0，3），

如图1，过Q作QF⊥x轴于F，

∵QF∥OB，

∴△CQF∽△CBO，

∴

∵点Q为线段BC的三等分点（靠近点C），

∴

∴，

∴QF=CF=1，

∴Q（2，1），

∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，

∴D（1，4），抛物线对称轴x=1

连接AQ交抛物线对称轴于M，则M（1，），此时△MQC周长最小．

设直线CM解析式为y=kxb，则，解得：；

∴y=-x+1，

设E（t，-t2+2t+3）为抛物线对称轴右侧且位于第一象限内的点，过E作EN⊥x轴于N，EN交CM于S，

则，S（t，-t+1），

∴ES=-t2+2t+3-（-t+1）=-t2+t+2，

∴S△CME＝×2ES=-t2+t+2=-（t-）2+，

∵-1＜0，

∴当t=时，S△CME最大值=，

（2）存在．如图2，由（1）知CN=OC-ON=3-=，由旋转得CN′=CN=，CN′⊥x轴，

由题意得CP⊥x轴，CP=CN′+N′P=2，

∴P（3，2）

∴DP=，

∵四边形DPHG是菱形，

∴DG=PH=DP=2，PH∥DG，

∴H（3，2-2），

如图3，

∵四边形DPHG是菱形，

∴DG=PH=DP=2，PH∥DG，

∴H（3，2+2）．

如图4，四边形DPGH是菱形，P与H关于抛物线对称轴对称，

∴H（-1，2）．

如图5，过点P作PG⊥直线x=1于G，作DH⊥直线x=1，过P作PH⊥DH于H，

∵PH=DG=DH=PG=2，∠PGD=90°

∴四边形DPGH是菱形，

∴H（3，4）

综上所述，点H的坐标为（3，2-2）或（3，2+2）或（-1，2）或（3，4）．

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