Question

【题目】如图：AB是⊙O的直径，C、G是⊙O上两点，且点C是劣弧AG的中点，过点C的直线CD⊥BG的延长线于点D，交BA的延长线于点E，连接BC，交OD于点F．

（1）求证：CD是⊙O的切线；

（2）若ED＝DB，求证：3OF＝2DF；

（3）在（2）的条件下，连接AD，若CD＝3，求AD的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析（3）

【解析】

（1）如图1，连接，，，由圆周角定理得到，根据同圆的半径相等得到，于是得到，等量代换得到，根据平行线的判定得到，即可得到结论；

（2）如图1，根据三角函数的定义得到，求得，得到，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论；

（3）如图2，过作于，解直角三角形即可得到结论．

解：（1）证明：如图1，连接OC，AC，CG，

∵AC＝CG，

，

∴∠ABC＝∠CBG，

∵OC＝OB，

∴∠OCB＝∠OBC，

∴∠OCB＝∠CBG，

∴OC∥BG，

∵CD⊥BG，

∴OC⊥CD，

∴CD是⊙O的切线；

（2）解：如图1，

∵CD⊥BG，

∴∠BDE＝90°，

，

，

∴∠E＝30°，

∴∠EBD＝∠COE＝60°，

，

∴OC＝OA＝AE，

∵OC∥BD，

∴△EOC∽△EBD，

，

∵OC∥BD，

∴△COF∽△BDF，

，

∴3OF＝2DF；

（3）解：如图2，过A作AH⊥DE于H，

∵∠E＝30°

∴∠EBD＝60°，

，

∵CD＝3，

，，，

，

，

∴EH＝3，

∴DH＝9﹣3＝6，

在中，．